Tích phân của int tan ^ 4x dx là gì?

Câu trả lời:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Giải trình:

Việc giải quyết phản kháng trig thường liên quan đến việc phá vỡ tích phân để áp dụng Nhận dạng Pythagore và họ sử dụng một # u #-thay thế. Đó chính xác là những gì chúng ta sẽ làm ở đây.

Bắt đầu bằng cách viết lại # inttan ^ 4xdx # như # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Bây giờ chúng ta có thể áp dụng Danh tính Pythagore # tan ^ 2x + 1 = giây ^ 2x #, hoặc là # tan ^ 2x = giây ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (giây ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Phân phối # tan ^ 2x #:

#color (trắng) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Áp dụng quy tắc tổng:

#color (trắng) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Chúng tôi sẽ đánh giá các tích phân này từng cái một.

Tích phân đầu tiên

Điều này được giải quyết bằng cách sử dụng một # u #-thay thế:

Để cho # u = tanx #

# (du) / dx = giây ^ 2x #

# du = giây ^ 2xdx #

Áp dụng thay thế, #color (trắng) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (trắng) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Bởi vì # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Tích phân thứ hai

Vì chúng ta không thực sự biết những gì # inttan ^ 2xdx # chỉ bằng cách nhìn vào nó, hãy thử áp dụng # tan ^ 2 = giây ^ 2x-1 # danh tính một lần nữa:

# inttan ^ 2xdx = int (giây ^ 2x-1) dx #

Sử dụng quy tắc tổng, tích phân rút gọn thành:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

Đầu tiên trong số này, # intsec ^ 2xdx #, Chỉ là # tanx + C #. Cái thứ hai, cái gọi là "tích phân hoàn hảo", chỉ đơn giản là # x + C #. Đặt tất cả lại với nhau, chúng ta có thể nói:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

Và bởi vì # C + C # chỉ là một hằng số tùy ý, chúng ta có thể kết hợp nó thành một hằng số chung # C #:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Kết hợp hai kết quả, chúng ta có:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Một lần nữa, bởi vì # C + C # là một hằng số, chúng ta có thể nối chúng thành một # C #.