Làm thế nào để bạn phân biệt f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) bằng cách sử dụng quy tắc sản phẩm?

Câu trả lời:

Đầu tiên bạn sử dụng quy tắc sản xuất để có được

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Sau đó sử dụng tính tuyến tính của các định nghĩa đạo hàm và hàm đạo hàm để có được

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

Giải trình:

Quy tắc sản phẩm liên quan đến việc lấy đạo hàm của hàm là bội số của hai (hoặc nhiều hơn) hàm, dưới dạng #f (x) = g (x) * h (x) #. Quy tắc sản phẩm là

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Áp dụng nó vào chức năng của chúng tôi,

#f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) #

Chúng ta có

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Ngoài ra, chúng ta cần sử dụng tính tuyến tính của đạo hàm, đó

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Áp dụng điều này, chúng tôi có

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

Chúng ta cần thực hiện các dẫn xuất riêng lẻ của các hàm này, chúng ta sử dụng

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Bây giờ chúng tôi có

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

Tại thời điểm này, chúng tôi chỉ cần làm gọn một chút

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #