Hai góc của một tam giác cân là tại (1, 3) và (9, 4). Nếu diện tích của tam giác là 64, độ dài của các cạnh của tam giác là bao nhiêu?

Câu trả lời:

Độ dài của các cạnh của tam giác là:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Giải trình:

Khoảng cách giữa hai điểm # (x_1, y_1) # và # (x_2, y_2) # được cho bởi công thức khoảng cách:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Vì vậy, khoảng cách giữa # (x_1, y_1) = (1, 3) # và # (x_2, y_2) = (9, 4) # Là:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

đó là một số vô tỷ lớn hơn một chút so với #8#.

Nếu một trong các cạnh khác của tam giác có cùng độ dài, thì diện tích tối đa có thể có của tam giác sẽ là:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Vì vậy, đó không thể là trường hợp. Thay vào đó, hai bên còn lại phải có cùng chiều dài.

Cho một tam giác có cạnh # a = sqrt (65), b = t, c = t #, chúng ta có thể sử dụng công thức của Heron để tìm diện tích của nó.

Công thức của Herons cho chúng ta biết rằng diện tích của một hình tam giác có cạnh #a, b, c # và chu vi bán #s = 1/2 (a + b + c) # được đưa ra bởi:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Trong trường hợp của chúng tôi, chu vi bán là:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

và công thức của Heron cho chúng ta biết rằng:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (trắng) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Nhân cả hai đầu với #2# để có được:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Hình vuông cả hai bên để có được:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Nhân cả hai bên #4/65# để có được:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Chuyển và thêm #65/4# để cả hai bên có được:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Lấy căn bậc hai dương của cả hai bên để có được:

#t = sqrt (266369/260) #

Vì vậy, độ dài của các cạnh của tam giác là:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Phương pháp thay thế

Thay vì sử dụng công thức của Heron, chúng ta có thể suy luận như sau:

Cho rằng đáy của tam giác cân có độ dài:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Khu vực là # 64 = 1/2 "cơ sở" xx "chiều cao" #

Vậy chiều cao của tam giác là:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Đây là chiều dài của đường phân giác vuông góc của tam giác, đi qua trung điểm của đáy.

Vì vậy, hai bên còn lại tạo thành cạnh huyền của hai tam giác góc phải với chân #sqrt (65) / 2 # và # (128sqrt (65)) / 65 #

Vì vậy, bởi Pythagoras, mỗi bên có chiều dài:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #