Làm thế nào để bạn tìm thấy int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx bằng cách sử dụng một phần phân số?

Câu trả lời:

Bạn cố gắng chia hàm hợp lý thành một tổng sẽ thực sự dễ tích hợp.

Giải trình:

Đầu tiên: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Phân tách một phần cho phép bạn làm điều đó:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # với # a, b trong RR # mà bạn phải tìm.

Để tìm thấy chúng, bạn phải nhân cả hai bên với một trong các đa thức ở bên trái của đẳng thức. Tôi chỉ ra một ví dụ cho bạn, hệ số khác sẽ được tìm thấy theo cùng một cách.

Chúng ta sẽ tìm # a #: chúng ta phải nhân mọi thứ với # x # để làm cho các hệ số khác biến mất.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Bạn làm điều tương tự để tìm # b # (bạn nhân mọi thứ với # (x-1) # sau đó bạn chọn #x = 1 #) và bạn phát hiện ra rằng #b = 1 #.

Vì thế # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, ngụ ý rằng #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #