Một tam giác có các góc A, B và C lần lượt nằm ở (3, 5), (2, 9) và (4, 8). Các điểm cuối và chiều dài của độ cao đi qua góc C là gì?

Câu trả lời:

Điểm cuối #(4,8)# và #(40/17, 129/17) # và chiều dài # 7 / sqrt {17} #.

Giải trình:

Tôi rõ ràng là một chuyên gia trong việc trả lời các câu hỏi hai năm tuổi. Tiếp tục đi.

Độ cao qua C là vuông góc với AB qua C.

Có một vài cách để làm điều này. Chúng ta có thể tính độ dốc của AB là #-4,# thì độ dốc của đường vuông góc là #1/4# và chúng ta có thể tìm thấy sự gặp nhau của đường vuông góc qua C và đường thẳng qua A và B. Hãy thử một cách khác.

Hãy gọi chân vuông góc #F (x, y) #. Chúng ta biết tích của chấm của vectơ chỉ hướng CF với vectơ chỉ hướng AB bằng 0 nếu chúng vuông góc:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Đó là một phương trình. Phương trình khác nói #F (x, y) # nằm trên dòng qua A và B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Họ gặp nhau khi

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Độ dài CF của độ cao là

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Hãy kiểm tra điều này bằng cách tính diện tích bằng công thức dây giày và sau đó giải quyết độ cao. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #