Phạm vi của một hàm bậc hai là gì?

Câu trả lời:

Phạm vi của #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # Là:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "nếu" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "nếu" a <0):} #

Giải trình:

Cho hàm số bậc hai:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # với #a! = 0 #

Chúng ta có thể hoàn thành hình vuông để tìm:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Đối với các giá trị thực của # x # thuật ngữ bình phương # (x + b / (2a)) ^ 2 # là không âm, lấy giá trị tối thiểu của nó #0# khi nào #x = -b / (2a) #.

Sau đó:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Nếu #a> 0 # thì đây là giá trị tối thiểu có thể của #f (x) # và phạm vi của #f (x) # Là # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Nếu #a <0 # thì đây là giá trị tối đa có thể của #f (x) # và phạm vi của #f (x) # Là # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Một cách khác để xem xét điều này là để cho #y = f (x) # và xem nếu có một giải pháp cho # x # về mặt # y #.

Được:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Trừ # y # từ cả hai phía để tìm:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Người phân biệt đối xử # Delta # của phương trình bậc hai này là:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4 ngày #

Để có giải pháp thực sự, chúng tôi yêu cầu #Delta> = 0 # và như vậy:

# (b ^ 2-4ac) + 4 ngày> = 0 #

Thêm vào # 4ac-b ^ 2 # để cả hai bên tìm thấy:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Nếu #a> 0 # sau đó chúng ta có thể đơn giản chia cả hai bên # 4a # để có được:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Nếu #a <0 # sau đó chúng ta có thể chia cả hai bên # 4a # và đảo ngược sự bất bình đẳng để có được:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #