Có 7 đứa trẻ trong một lớp học. Trong bao nhiêu cách họ có thể xếp hàng để nghỉ ngơi?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Vấn đề đặc biệt này là một hoán vị. Nhớ lại, sự khác biệt giữa hoán vị và kết hợp là, với hoán vị, vấn đề trật tự. Cho rằng câu hỏi hỏi có bao nhiêu cách các sinh viên có thể xếp hàng để giải lao (tức là có bao nhiêu đơn hàng khác nhau), đây là một hoán vị.

Hãy tưởng tượng tại thời điểm chúng tôi chỉ điền hai vị trí, vị trí 1 và vị trí 2. Để phân biệt giữa các học sinh của chúng tôi, vì vấn đề trật tự, chúng tôi sẽ chỉ định mỗi chữ cái từ A đến G. Bây giờ, nếu chúng tôi điền vào các vị trí này tại một thời điểm, chúng tôi có bảy tùy chọn để điền vào vị trí đầu tiên: A, B, C, D, E, F và G. Tuy nhiên, một khi vị trí đó được lấp đầy, chúng tôi chỉ có sáu tùy chọn cho vị trí thứ hai, bởi vì một trong những sinh viên đã được định vị.

Ví dụ: giả sử A ở vị trí 1. Sau đó, các lệnh có thể có của chúng tôi cho hai vị trí của chúng tôi là AB (tức là A ở vị trí 1 và B ở vị trí 2), AC, AD, AE, AF, AG. Tuy nhiên … điều này không tính đến tất cả các đơn đặt hàng có thể có ở đây, vì có 7 tùy chọn cho vị trí đầu tiên. Do đó, nếu B ở vị trí 1, chúng ta sẽ có các khả năng BA, BC, BD, BE, BF và BG. Do đó, chúng tôi nhân số lượng các tùy chọn của chúng tôi với nhau: #7*6 = 42#

Nhìn lại vấn đề ban đầu, có 7 học sinh có thể được đặt ở vị trí 1 (một lần nữa, giả sử rằng chúng ta điền vào các vị trí từ 1 đến 7 theo thứ tự). Khi vị trí 1 được lấp đầy, 6 học sinh có thể được đặt ở vị trí 2. Với vị trí 1 và 2 được lấp đầy, 5 có thể được đặt ở vị trí 3, et cetera, cho đến khi chỉ có một học sinh có thể được đặt ở vị trí cuối cùng. Do đó, nhân số lượng tùy chọn của chúng tôi với nhau, chúng tôi nhận được #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Đối với một công thức tổng quát hơn để tìm số lượng hoán vị của # n # đối tượng thực hiện # r # tại một thời điểm, không có vật thay thế (tức là, học sinh ở vị trí 1 không quay lại khu vực chờ và trở thành một lựa chọn cho vị trí 2), chúng tôi có xu hướng sử dụng công thức:

Số lượng hoán vị = # "n!" / "(N-r)!" #.

với # n # số lượng đối tượng, # r # số lượng vị trí cần điền, và #!# biểu tượng cho yếu tố, một hoạt động trên một số nguyên không âm # a # như vậy mà #a! # = #atimes (a-1) lần (a-2) lần (a-3) lần … lần (1) #

Do đó, sử dụng công thức của chúng tôi với bài toán ban đầu, trong đó chúng tôi có 7 học sinh thực hiện 7 lần (ví dụ: chúng tôi muốn điền vào 7 vị trí), chúng tôi có

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Nó có vẻ phản trực giác rằng #0! = 1#; Tuy nhiên, đây thực sự là trường hợp.