Câu trả lời:
Chức năng này có không có điểm dừng (bạn có chắc chắn rằng #f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x # là người mà bạn muốn học?!).
Giải trình:
Theo định nghĩa phổ biến nhất của điểm yên ngựa (các điểm dừng không phải là điểm cực trị), bạn đang tìm kiếm các điểm dừng của hàm trong miền của nó # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) bằng RR ^ 2} #.
Bây giờ chúng ta có thể viết lại biểu thức đã cho # f # theo cách sau: #f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x #
Cách để xác định chúng là tìm kiếm các điểm vô hiệu hóa độ dốc của # f #, đó là vectơ của các đạo hàm riêng:
#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #
Vì miền là một tập mở, chúng ta không cần tìm kiếm extrema cuối cùng nằm trên ranh giới, bởi vì một tập mở không chứa các điểm biên.
Vì vậy, hãy tính toán độ dốc của hàm:
#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x) #
Điều này là null khi các phương trình sau đây được thỏa mãn đồng thời:
# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #
# 2x ^ 2y = 1 / x #
Chúng ta có thể biến thứ hai thành # y = 1 / (2x ^ 3) # và thay thế nó vào đầu tiên để có được
# 14x + 2x (1 / (2x ^ 3)) ^ 2+ (1 / (2x ^ 3)) / x ^ 2 = 0 #
# 14x + 1 / (2x ^ 5) + 1 / (2x ^ 5) = 0 #
# 14x ^ 6 + 1 = 0 #
Điều này không thể hài lòng cho #x bằng RR #, do đó, gradient không bao giờ là null trên miền. Điều này có nghĩa là chức năng không có điểm dừng!
