Câu hỏi # 69feb

Câu trả lời:

Dòng bình thường: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Đường tiếp tuyến: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Giải trình:

Đối với trực giác: Hãy tưởng tượng rằng chức năng #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # mô tả chiều cao của một số địa hình, trong đó # x # và # y # là tọa độ trong mặt phẳng và #ln (y) # được coi là logarit tự nhiên. Sau đó tất cả # (x, y) # như vậy mà #f (x, y) = a # (chiều cao) bằng một số hằng số # a # được gọi là đường cong mức. Trong trường hợp của chúng tôi chiều cao không đổi # a # bằng không, vì #f (x, y) = 0 #.

Bạn có thể quen thuộc với các bản đồ địa hình, trong đó các đường khép kín biểu thị các đường có chiều cao bằng nhau.

Bây giờ là độ dốc #grad f (x, y) = ((một phần f) / (một phần x), (một phần f) / (một phần x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # cho chúng ta hướng tại một điểm # (x, y) # trong đó #f (x, y) # (chiều cao) thay đổi nhanh nhất. Đây là thẳng lên hoặc thẳng xuống đồi, miễn là địa hình của chúng ta trơn tru (khác biệt), và chúng ta không ở trên đỉnh, dưới đáy hoặc trên cao nguyên (một điểm cực). Thực tế đây là hướng bình thường cho một đường cong có chiều cao không đổi, sao cho # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Do đó, dòng bình thường theo hướng đó đi qua # (2, e ^ 2) # có thể được mô tả như là

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, Ở đâu #s trong mathbbR # là một tham số thực sự. Bạn có thể loại bỏ #S# bộc lộ # y # như là một chức năng của # x # nếu bạn thích, để tìm

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Đạo hàm định hướng theo hướng tiếp tuyến phải là #0# (có nghĩa là chiều cao không thay đổi), vì vậy một vectơ tiếp tuyến # (u, v) # phải đáp ứng

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, Ở đâu # cdot # nghĩa là sản phẩm chấm. Vì thế # (u, v) = (1, e ^ 2) # là một lựa chọn hợp lệ. Do đó, đường tiếp tuyến đi qua # (2, e ^ 2) # có thể được mô tả như là

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t trong mathbbR #.

Giải quyết để # y # cho rằng

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Cuối cùng bạn cũng nên kiểm tra xem # (2, e ^ 2) # nằm trên đường cong #f (x, y) #, trên đường tiếp tuyến và trên đường bình thường.