Chứng minh sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Câu trả lời:

Giải thích

Giải trình:

Trên mặt phẳng tọa độ bình thường, chúng ta có tọa độ như (1,2) và (3,4) và những thứ tương tự. Chúng ta có thể xem lại các tọa độ n về bán kính và góc. Vì vậy, nếu chúng ta có điểm (a, b) có nghĩa là chúng ta đi đơn vị sang phải, b đơn vị lên và #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # là khoảng cách giữa điểm gốc và điểm (a, b). tôi sẽ gọi #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Vì vậy chúng tôi có # re ^ arctan (b / a) #

Bây giờ để hoàn thành bằng chứng này, hãy nhớ lại một công thức.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Chức năng của hồ quang tan cho tôi một góc cũng là theta.

Vậy ta có phương trình sau:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Bây giờ hãy vẽ một tam giác vuông.

Arctan của (b / a) cho tôi biết rằng b là cạnh đối diện và a là cạnh kề. Vì vậy, nếu tôi muốn cos của arctan (b / a), chúng ta sử dụng định lý Pythagore để tìm hypotenuse. Đường huyền là #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Vì vậy cos (arctan (b / a)) = liền kề trên hypotenuse = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Phần tốt nhất về điều này là thực tế rằng nguyên tắc tương tự này áp dụng cho sin. Vậy sin (arctan (b / a)) = ngược lại với hypotenuse = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Vì vậy, bây giờ chúng ta có thể diễn đạt lại câu trả lời của mình như sau: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Nhưng hãy nhớ #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # vì vậy bây giờ chúng ta có: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. Hủy bỏ của r, và bạn còn lại với những điều sau đây: # a + bi #

Vì thế, # (tái ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #