Khi nào bạn sử dụng công thức của Heron để tìm diện tích?

Bạn có thể sử dụng nó bất cứ khi nào bạn biết độ dài của cả ba cạnh của một hình tam giác.

Tôi hy vọng rằng điều này là hữu ích.

Câu trả lời:

Công thức của Heron hầu như luôn luôn là công thức sai để sử dụng; hãy thử Định lý Archimedes cho một tam giác có diện tích # A # và các bên # a, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # Ở đâu # s = 1/2 (a + b + c) #

Điều này cuối cùng là Heron che giấu mỏng.

Giải trình:

Anh hùng Alexandria đã viết vào thế kỷ thứ nhất sau công nguyên. Tại sao chúng ta tiếp tục tra tấn học sinh bằng kết quả của mình khi có những tương đương hiện đại đẹp hơn nhiều mà tôi không biết.

Công thức của Heron cho khu vực # A # của một hình tam giác với các cạnh # a, b, c # Là

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # Ở đâu # s = 1/2 (a + b + c) # là bán nguyệt.

Không có nghi ngờ công thức này là tuyệt vời. Nhưng thật khó sử dụng vì phân số và, nếu chúng ta bắt đầu từ tọa độ, bốn căn bậc hai.

Hãy làm toán đi. Chúng tôi vuông và loại bỏ #S# mà chủ yếu phục vụ để che giấu một #16# và một yếu tố quan trọng. Bạn có thể muốn thử nó trước.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Điều đó đã tốt hơn nhiều so với hình thức của Heron. Chúng tôi lưu phần cuối cùng và không còn băn khoăn về ý nghĩa của bán nguyệt.

Các trường hợp thoái hóa là nói. Khi một trong những yếu tố có dấu trừ bằng 0, đó là khi hai bên cộng với chính xác bên kia. Đó là những khoảng cách giữa ba điểm cộng tuyến, tam giác suy biến và chúng ta có diện tích bằng không. Có ý nghĩa.

Các # a + b + c # yếu tố thú vị Những gì nó nói với chúng ta là công thức này vẫn hoạt động nếu chúng ta sử dụng các chuyển vị, độ dài đã ký, thay vì tất cả tích cực.

Công thức vẫn còn lúng túng khi sử dụng tọa độ đã cho. Hãy nhân nó ra; bạn có thể muốn tự mình thử nó;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Hình thức đó chỉ phụ thuộc vào bình phương của độ dài. Nó rõ ràng hoàn toàn đối xứng. Bây giờ chúng ta có thể đi xa hơn Heron và nói nếu độ dài bình phương là hợp lý, khu vực bình phương cũng vậy.

Nhưng chúng ta có thể làm tốt hơn nếu chúng ta lưu ý

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Trừ đi,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Đó là hình thức đẹp nhất.

Có một hình thức tìm kiếm không đối xứng thường hữu ích nhất. Chúng tôi lưu ý

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Thêm cái này vào

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Đó là hình thức hữu ích nhất. Thực sự có ba cách để viết nó, đổi bên.

Chung chúng được gọi là Định lý Archimedes, từ Lượng giác hợp lý của NJ Wildberger.

Khi được cung cấp tọa độ 2D, thường thì Công thức Shoelace là đường dẫn nhanh nhất đến khu vực, nhưng tôi sẽ lưu nó cho các bài đăng khác.