Định lý của DeMoivre mở rộng trên công thức của Euler:
# e ^ (ix) = cosx + isinx #
Định lý của DeMoivre nói rằng:
- # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
- # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
- # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
- #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #
Thí dụ:
#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #
# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #
Tuy nhiên, # i ^ 2 = -1 #
# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #
Giải quyết cho các phần thực và tưởng tượng của # x #:
# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #
So sánh với #cos (2x) + isin (2x) #
#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #
#sin (2x) = 2sinxcosx #
Đây là các công thức góc đôi cho # cos # và #tội#
Điều này cho phép chúng tôi mở rộng #cos (nx) # hoặc là #sin (nx) # về quyền hạn của # sinx # và # cosx #
Định lý của DeMoivre có thể được đưa ra thêm:
Được # z = cosx + isinx #
# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #
#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #
#z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx)) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #
# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #
# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #
Vì vậy, nếu bạn muốn thể hiện # sin ^ nx # về nhiều góc độ của # sinx # và # cosx #:
# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #
Mở rộng và đơn giản, sau đó nhập giá trị cho # z ^ n + z ^ (- n) # và # z ^ n-z ^ (- n) # khi cần thiết
Tuy nhiên, nếu nó liên quan # cos ^ nx #sau đó bạn sẽ làm # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # và làm theo các bước tương tự.
