Câu trả lời:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Giải trình:
Đối với vấn đề này có ý nghĩa # 4-9x ^ 2> = 0 #, vì thế # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Vì vậy, chúng ta có thể chọn một # 0 <= u <= pi # như vậy mà # x = 2 / 3cosu #. Sử dụng điều này, chúng ta có thể thay đổi biến x trong tích phân bằng cách sử dụng # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # ở đây chúng tôi sử dụng nó # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # và đó cho # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Bây giờ chúng tôi sử dụng tích hợp bởi các bộ phận để tìm # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. vì thế # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, bây giờ chúng tôi thay thế # x # lại cho # u #, sử dụng # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, vì thế #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Chúng ta có thể đơn giản hóa điều này bằng cách sử dụng định nghĩa của sin và cosin theo hình tam giác. Cho tam giác vuông có một góc # u # tại một trong những góc không phải, # sinu = "phía đối diện" / "bên dài nhất" #, trong khi # cosu = "bên cạnh" / "bên dài nhất" #, vì chúng ta biết # cosu = (3x) / 2 #, chúng ta có thể chọn phía bên cạnh # 3x # và bên dài nhất là #2#. Sử dụng định lý của Pythagoras, chúng ta thấy mặt đối lập là #sqrt (4-9x ^ 2) #, vì thế #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. vì thế #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
