Câu hỏi # 0df97

Câu trả lời:

Câu trả lời cho 4 là # e ^ -2 #.

Giải trình:

Vấn đề là:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Bây giờ đây là một vấn đề khó khăn. Các giải pháp nằm trong nhận dạng mẫu rất cẩn thận. Bạn có thể nhớ lại định nghĩa của # e #:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~ ~ 2.718 … #

Nếu chúng ta có thể viết lại giới hạn như một cái gì đó gần với định nghĩa của # e #, chúng tôi sẽ có câu trả lời của chúng tôi. Vì vậy, hãy thử nó.

Lưu ý rằng #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # tương đương với:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Chúng ta có thể chia các phân số như vậy:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Chúng tôi đang đến đó! Hãy để một yếu tố #-2# từ trên xuống dưới

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (hủy (-2)) / (hủy (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Hãy để chúng tôi áp dụng thay thế # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Các tính chất của số mũ nói: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Vì thế #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # tương đương với:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Các tính chất của số mũ cũng nói rằng: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Điều này có nghĩa là điều này tiếp tục giảm xuống:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Theo định nghĩa, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; và sử dụng thay thế trực tiếp trên sản lượng giới hạn thứ hai:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Vậy giải pháp là …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #