Câu hỏi # 90cf3 + Ví dụ

Câu trả lời:

Để tìm gốc của phương trình như # e ^ x = x ^ 3 #, Tôi khuyên bạn nên sử dụng phương pháp phân tích số đệ quy, được gọi là Phương pháp của Newton

Giải trình:

Hãy làm một ví dụ.

Để sử dụng phương pháp của Newton, bạn viết phương trình dưới dạng #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Tính toán #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Bởi vì phương pháp yêu cầu chúng tôi thực hiện cùng một tính toán nhiều lần, cho đến khi nó hội tụ, tôi khuyên bạn nên sử dụng bảng tính Excel; phần còn lại của câu trả lời của tôi sẽ chứa các hướng dẫn về cách làm điều này.

Nhập một dự đoán tốt cho x vào ô A1. Đối với phương trình này, tôi sẽ nhập 2.

Nhập thông tin sau vào ô A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Xin lưu ý rằng ở trên là ngôn ngữ bảng tính Excel cho

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Sao chép nội dung của ô A2 vào A3 qua A10. Chỉ sau 3 hoặc 4 lần thu hồi, bạn có thể thấy rằng phương pháp đã hội tụ

#x = 1.857184 #

Câu trả lời:

Chúng ta có thể sử dụng Định lý giá trị trung gian để thấy rằng mỗi cặp có ít nhất một điểm giao nhau.

Giải trình:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # là liên tục trên toàn bộ dòng thực.

Tại # x = 0 #, chúng ta có #f (0) = 1 #.

Tại # x = -1 #, chúng ta có #f (-1) = 1 / e-1 # đó là tiêu cực.

# f # là liên tục trên #-1,0#, vì vậy có ít nhất một # c # trong #(-1,0)# với #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # là liên tục trên toàn bộ dòng thực.

Tại # x = 0 #, chúng ta có #g (0) = 1 #.

Tại # x = 2 #, chúng ta có #g (2) = e ^ 2-8 # đó là tiêu cực.

(Lưu ý rằng # e ^ 2 ~ ~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# g # là liên tục trên #0,2#, vì vậy có ít nhất một # c # trong #(0,2)# với #g (c) = 0 #.