Với giá trị nào của x là f (x) = x-x ^ 2e ^ -x lõm hoặc lồi?

Câu trả lời:

Tìm đạo hàm thứ hai và kiểm tra dấu hiệu của nó. Nó lồi nếu nó dương và lõm nếu âm tính.

Lõm cho:

#x trong (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Lồi cho:

#x trong (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Giải trình:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Dẫn suất đầu tiên:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Lấy # e ^ -x # như một yếu tố phổ biến để đơn giản hóa đạo hàm tiếp theo:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Dẫn xuất thứ hai:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Bây giờ chúng ta phải nghiên cứu các dấu hiệu. Chúng ta có thể chuyển đổi dấu hiệu để dễ dàng giải quyết bậc hai:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Để làm cho bậc hai một sản phẩm:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Vì thế:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Giá trị của # x # giữa hai giải pháp này cho một dấu hiệu bậc hai âm, trong khi bất kỳ giá trị nào khác của # x # làm cho nó tích cực.
• Bất kỳ giá trị nào của # x # làm cho # e ^ -x # tích cực.
• Dấu hiệu tiêu cực khi bắt đầu chức năng đảo ngược tất cả các dấu hiệu.

Vì thế, #f '' (x) # Là:

Tích cực, do đó lõm cho:

#x trong (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Tiêu cực, do đó lồi cho:

#x trong (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #