Điểm cực trị của f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 trong khoảng [-1,3] là gì?

Câu trả lời:

Chúng tôi có một cực tiểu tại # x = 0 # và một điểm uốn tại # x = 3 #

Giải trình:

Cực đại là một điểm cao mà hàm tăng lên rồi lại rơi. Như vậy độ dốc của tiếp tuyến hoặc giá trị của đạo hàm tại điểm đó sẽ bằng không.

Hơn nữa, vì các tiếp tuyến bên trái của cực đại sẽ dốc lên trên, sau đó làm phẳng và sau đó dốc xuống, độ dốc của tiếp tuyến sẽ liên tục giảm, tức là giá trị của đạo hàm cấp hai sẽ âm.

Mặt khác, cực tiểu là một điểm thấp mà hàm rơi xuống và sau đó tăng trở lại. Như vậy tiếp tuyến hoặc giá trị của đạo hàm tại cực tiểu cũng sẽ bằng không.

Nhưng, vì các tiếp tuyến ở bên trái của cực tiểu sẽ dốc xuống, sau đó làm phẳng và sau đó dốc lên, độ dốc của tiếp tuyến sẽ liên tục tăng hoặc giá trị của đạo hàm thứ hai sẽ dương.

Nếu đạo hàm thứ hai bằng 0, chúng ta có một điểm

Tuy nhiên, các cực đại và cực tiểu này có thể là phổ quát, tức là cực đại hoặc cực tiểu cho toàn bộ phạm vi hoặc có thể được bản địa hóa, tức là cực đại hoặc cực tiểu trong một phạm vi giới hạn.

Chúng ta hãy xem điều này với tham chiếu đến chức năng được mô tả trong câu hỏi và về điều này trước tiên chúng ta hãy phân biệt #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Đạo hàm đầu tiên của nó được đưa ra bởi #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Điều này sẽ là không cho # x ^ 2-9 = 0 # hoặc là #x = + - 3 # hoặc là #0#. Trong số này #{0,3}# nằm trong phạm vi #-1,3}#.

Do đó cực đại hoặc cực tiểu xảy ra tại các điểm # x = 0 # và # x = 3 #.

Để tìm xem đó là cực đại hay cực tiểu, chúng ta hãy xem xét vi phân thứ hai #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # và do đó trong khi

tại # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # và là tích cực

tại # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # và là một điểm của viêm.

Do đó, chúng tôi có một cực tiểu địa phương tại # x = 0 # và một điểm uốn tại # x = 3 #

. đồ thị {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Câu trả lời:

Tối thiểu là #(-9)^3+10# (xảy ra tại #0#), mức tối đa tuyệt đối trên khoảng là #10#, (xảy ra tại #3#)

Giải trình:

Câu hỏi không xác định liệu chúng ta sẽ tìm thấy cực trị tương đối hay tuyệt đối, vì vậy chúng ta sẽ tìm thấy cả hai.

Cực đoan tương đối chỉ có thể xảy ra ở những con số quan trọng. Số quan trọng là giá trị của # x # đó là trong miền của # f # và tại đó #f '(x) = 0 # hoặc #f '(x) không tồn tại. (Định lý Fermat)

Cực đoan tuyệt đối trên một khoảng thời gian đóng có thể xảy ra ở các số quan trọng trong khoảng hoặc tại các điểm của khoảng.

Bởi vì chức năng được hỏi về ở đây là liên tục trên #-1,3#, Định lý giá trị cực đoan đảm bảo với chúng ta rằng # f # phải có cả tối thiểu tuyệt đối và tối đa tuyệt đối trên khoảng.

Số lượng quan trọng và cực đoan tương đối.

Dành cho #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, chúng ta tìm thấy #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Thông suốt, # f '# không bao giờ thất bại để tồn tại, vì vậy không có con số quan trọng của loại đó.

Giải quyết # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # mang lại giải pháp #-3#, #0#và #3#.

#-3# không thuộc phạm vi của vấn đề này, #-1,3# vì vậy chúng tôi chỉ cần kiểm tra #f (0) # và #f (3) #

Dành cho #x <0 #, chúng ta có #f '(x) <0 # và

cho #x> 0 #, chúng ta có #f '(x)> 0 #.

Vì vậy, bằng thử nghiệm đạo hàm đầu tiên, #f (0) # là một mức tối thiểu tương đối. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Số quan trọng khác trong khoảng là #3#. Nếu chúng tôi bỏ qua giới hạn tên miền, chúng tôi thấy rằng #f '(x)> 0 # cho tất cả # x # ở gần #3#. Vì vậy, hàm tăng trong các khoảng mở nhỏ chứa #3#. Vì vậy, nếu chúng ta dừng lại tại #3# chúng tôi đã đạt điểm cao nhất trong miền.

Có không phải thỏa thuận phổ quát có nên nói rằng #f (3) = 10 # là mức tối đa tương đối cho chức năng này trên #-1,3#.

Một số yêu cầu giá trị cả từ hai phía để ít hơn, những người khác yêu cầu các giá trị trong miền ở hai bên phải ít hơn.

Đùn tuyệt đối

Tình huống cho cực đoan tuyệt đối trên một khoảng thời gian đóng # a, b # đơn giản hơn nhiều

Tìm các số quan trọng trong khoảng thời gian đóng. Gọi # c_1, c_2 # vân vân

Tính các giá trị #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # vân vân Giá trị lớn nhất là maixmum tuyệt đối trên khoảng và giá trị nhỏ nhất là tối thiểu tuyệt đối trên khoảng.

Trong câu hỏi này, chúng tôi tính toán #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # và #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Tối thiểu là #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # và

tối đa là #f (-3) = 10 #.