Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) là gì?

Chúng ta có:

# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #

Bước 2 - Xác định các điểm quan trọng

Một điểm quan trọng xảy ra tại một giải pháp đồng thời của

# f_x = f_y = 0 iff (một phần f) / (một phần x) = (một phần f) / (một phần y) = 0 #

tức là khi:

# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # đồng thời

Từ đó chúng ta có thể thiết lập:

# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #

# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #

Vì vậy, chúng tôi yêu cầu:

# y / (2x) = x / (2y) #

#:. x ^ 2 = y ^ 2 #

Sau đó, chúng ta có hai giải pháp (mặt phẳng vô hạn):

#:. x = + - y #

Và vì vậy, chúng tôi kết luận có vô số điểm tới hạn dọc theo toàn bộ chiều dài giao điểm của đường cong và hai mặt phẳng #x = + - y #

Bước 3 - Phân loại các điểm quan trọng

Để phân loại các điểm tới hạn, chúng tôi thực hiện một bài kiểm tra tương tự như một phép tính biến bằng cách sử dụng các đạo hàm riêng thứ hai và Ma trận Hessian.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((một phần ^ 2 f) / (một phần x ^ 2), (một phần ^ 2 f) / (một phần x một phần y)), ((một phần ^ 2 f) / (một phần y một phần x), (một phần ^ 2 f) / (một phần y ^ 2)) | #

# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Sau đó tùy thuộc vào giá trị của # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Có tối đa nếu" f_ (xx) <0), (, "và tối thiểu nếu" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "có điểm yên ngựa"), (Delta = 0, "Cần phân tích thêm"):} #

# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #

# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #

Chúng ta cần xem xét dấu hiệu của # Delta #và chúng tôi lưu ý rằng # e ^ z gt 0 AA z trong RR #, vì vậy chỉ cần xem xét dấu hiệu của:

# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #

Vì vậy, tùy thuộc vào dấu hiệu # Delta '# chúng ta có một số điểm cực đại và điểm yên vô hạn dọc theo các mặt phẳng #x = + - y #

Đây là một âm mưu của chức năng

Và đây là một âm mưu của hàm bao gồm các mặt phẳng #x = + - y #