Căn bậc hai của 90 là gì?

Câu trả lời:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~ ~ 1039481/109592 ~ ~ 9.48683298051 #

Giải trình:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # là một số vô tỷ ở đâu đó giữa #sqrt (81) = 9 # và #sqrt (100) = 10 #.

Trong thực tế, kể từ khi #90 = 9 * 10# có dạng #n (n + 1) # nó có một phần mở rộng liên tục thường xuyên của mẫu # n; thanh (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; thanh (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+…)))))) #

Một cách thú vị để tìm các xấp xỉ hợp lý là sử dụng một chuỗi số nguyên được xác định bởi sự lặp lại tuyến tính.

Xét phương trình bậc hai với số không # 19 + 2sqrt (90) # và # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (trắng) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

# màu (trắng) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

# màu (trắng) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Vì thế:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Sử dụng điều này để rút ra một chuỗi:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Một vài điều khoản đầu tiên của chuỗi này là:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Tỷ lệ giữa các điều khoản liên tiếp sẽ có xu hướng # 19 + 2sqrt (90) #

Vì thế:

#sqrt (90) ~ ~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039481/54796) = 1039481/109592 ~ ~ 9.48683298051 #