Làm thế nào để bạn tìm thấy tổng của chuỗi hình học vô hạn 10 (2/3) ^ n khi n = 2?

Câu trả lời:

Câu trả lời là một trong hai #40/9# hoặc là #40/3# tùy thuộc vào ý nghĩa của câu hỏi

Giải trình:

Nếu như #n = 2 # sau đó không có một khoản tiền, câu trả lời chỉ là:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Nhưng có lẽ câu hỏi là để hỏi rằng số tiền vô hạn được lấy bắt đầu từ # n = 2 # sao cho phương trình là:

#sum_ (n = 2) ^ 10 (2/3) ^ n #

Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ tính toán nó bằng cách lưu ý đầu tiên rằng bất kỳ chuỗi hình học nào cũng có thể được xem là có dạng:

#sum_ (n = 0) ^ vô số ^ n #

Trong trường hợp này, loạt của chúng tôi có #a = 10 # và #r = 2/3 #.

Chúng tôi cũng sẽ lưu ý rằng:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ vô cùng r ^ n #

Vì vậy, chúng ta có thể chỉ cần tính tổng của một chuỗi hình học # (2/3) ^ n # và sau đó nhân số tiền đó với #10# để đi đến kết quả của chúng tôi. Điều này làm cho mọi thứ dễ dàng hơn.

Chúng ta cũng có phương trình:

#sum_ (n = 0) ^ vô cùng r ^ n = 1 / (1-r) #

Điều này cho phép chúng tôi tính tổng của chuỗi bắt đầu từ # n = 0 #. Nhưng chúng tôi muốn tính toán nó từ # n = 2 #. Để làm điều này, chúng tôi sẽ chỉ cần trừ # n = 0 # và # n = 1 # điều khoản từ tổng số đầy đủ. Viết một số điều khoản đầu tiên của tổng số chúng ta có thể thấy rằng nó trông giống như:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Chúng tôi có thể thấy điều đó:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#