Đây là một bằng chứng lượng giác của một trường hợp tổng quát, câu hỏi nằm trong hộp chi tiết?

Câu trả lời:

Bằng chứng bằng cảm ứng là dưới đây.

Giải trình:

Hãy chứng minh danh tính này bằng cảm ứng.

A. Dành cho # n = 1 # chúng ta phải kiểm tra xem

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Thật vậy, sử dụng danh tính #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, chúng ta thấy rằng

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

từ đó theo đó

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Vì vậy đối với # n = 1 # danh tính của chúng tôi giữ đúng.

B. Giả sử rằng danh tính là đúng với # n #

Vì vậy, chúng tôi cho rằng

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j trong 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(ký hiệu #Số Pi# được sử dụng cho sản phẩm)

C. Sử dụng giả định B ở trên, hãy chứng minh danh tính cho # n + 1 #

Chúng ta phải chứng minh rằng từ giả định B sau

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j trong 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(lưu ý rằng ranh giới bên phải của một chỉ số nhân là # n # hiện nay).

BẰNG CHỨNG

Sử dụng một danh tính #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # cho # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Phân chia biểu thức bắt đầu và kết thúc bằng # 2cos (theta) +1 #, nhận được

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Bây giờ chúng tôi sử dụng giả định B nhận được

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j trong 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j trong 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(chú ý phạm vi của một chỉ mục bây giờ được mở rộng đến # n #).

Công thức cuối cùng hoàn toàn giống nhau cho # n + 1 # như bản gốc là cho # n #. Điều đó hoàn thành bằng chứng bằng cách cảm ứng rằng công thức của chúng tôi là đúng cho bất kỳ # n #.

Câu trả lời:

Xem phần Chứng minh trong Giải thích bên dưới.

Giải trình:

Điều này tương đương để chứng minh rằng, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vd #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Thưởng thức môn Toán.!