Câu trả lời:
Điểm # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) khoảng (1.26694,1.16437) # là một điểm tối thiểu địa phương.
Giải trình:
Các đạo hàm riêng thứ nhất là # (một phần f) / (một phần x) = y-3x ^ {- 4} # và # (một phần f) / (một phần y) = x-2y ^ {- 3} #. Đặt cả hai kết quả bằng 0 trong hệ thống # y = 3 / x ^ (4) # và # x = 2 / y ^ {3} #. Thay đổi phương trình thứ nhất thành phương trình thứ hai # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Kể từ khi #x! = 0 # trong miền của # f #, kết quả này trong # x ^ {11} = 27/2 # và # x = (27/2) ^ {1/11} # vậy đó # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (27/2) ^ {4/11} #
Các đạo hàm riêng bậc hai là # (một phần ^ {2} f) / (một phần x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (một phần ^ {2} f) / (một phần y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #và # (một phần ^ {2} f) / (một phần x một phần y) = (một phần ^ {2} f) / (một phần y một phần x) = 1 #.
Do đó, người phân biệt đối xử là # D = (một phần ^ {2} f) / (một phần x ^ {2}) * (một phần ^ {2} f) / (một phần y ^ {2}) - ((một phần ^ {2} f) / (một phần x một phần y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Điều này là tích cực ở điểm quan trọng.
Vì các đạo hàm riêng thứ hai (không trộn lẫn) thứ hai cũng dương, nên theo đó điểm quan trọng là mức tối thiểu cục bộ.
