Điểm cực trị của f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 trên [-oo, oo] là gì?

Câu trả lời:

#f (x) # có tối thiểu tại # x = 2 #

Giải trình:

Trước khi tiếp tục, lưu ý rằng đây là một parabola hướng lên trên, có nghĩa là chúng ta có thể biết mà không cần tính toán thêm rằng nó sẽ không có cực đại và một cực tiểu duy nhất ở đỉnh của nó. Hoàn thành quảng trường sẽ cho chúng ta thấy rằng #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, đưa ra đỉnh, và do đó tối thiểu duy nhất, tại #x = 2 #. Tuy nhiên, hãy xem làm thế nào điều này sẽ được thực hiện với tính toán.

Bất kỳ sự đùn nào sẽ xảy ra hoặc tại một điểm tới hạn hoặc tại điểm cuối của khoảng thời gian nhất định. Như khoảng thời gian nhất định của chúng tôi là # (- oo, oo) # là mở, chúng ta có thể bỏ qua khả năng của các điểm cuối, và vì vậy trước tiên chúng ta sẽ xác định các điểm tới hạn của hàm, nghĩa là điểm mà đạo hàm của hàm là #0# hoặc không tồn tại.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Đặt giá trị này bằng #0#, chúng tôi tìm thấy một điểm quan trọng tại # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Bây giờ, chúng ta có thể kiểm tra xem liệu đó có phải là một cực (và loại nào không) bằng cách kiểm tra một số giá trị của # f # xung quanh điểm đó, hoặc bằng cách sử dụng thử nghiệm đạo hàm thứ hai. Hãy sử dụng cái sau.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Như #f '' (2) = 6> 0 #, bài kiểm tra phái sinh thứ hai cho chúng ta biết rằng #f (x) # có tối thiểu địa phương tại # x = 2 #

Do đó, sử dụng #f '(x) # và #f '' (x) #, chúng tôi thấy rằng #f (x) # có tối thiểu tại # x = 2 #, phù hợp với kết quả mà chúng tôi tìm thấy bằng cách sử dụng đại số.