Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y là gì?

Tôi không tìm thấy điểm yên ngựa, nhưng có một mức tối thiểu:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Để tìm cực trị, lấy đạo hàm riêng đối với # x # và # y # để xem nếu cả hai dẫn xuất một phần có thể đồng thời bằng nhau #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Nếu chúng đồng thời phải bằng nhau #0#, chúng tạo thành một hệ phương trình:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Điều này tuyến tính hệ phương trình, khi trừ đi để hủy bỏ # y #, cho:

# 3x - 1 = 0 => màu (xanh) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => màu (xanh) (y = -2/3) #

Vì các phương trình là tuyến tính, chỉ có một điểm tới hạn và do đó chỉ có một điểm cực trị. Đạo hàm thứ hai sẽ cho chúng ta biết nó là mức tối đa hay tối thiểu.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (mất ^ 2)) _ x = 2 #

Các phần thứ hai này là thỏa thuận, vì vậy biểu đồ được lõm lên, dọc theo # x # và # y # trục.

Giá trị của #f (x, y) # tại điểm tới hạn là (bằng cách cắm lại vào phương trình ban đầu):

#color (xanh) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = màu (xanh) (- 1/3) #

Như vậy, chúng ta có một tối thiểu của #color (màu xanh) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Bây giờ, cho dẫn xuất chéo để kiểm tra bất kỳ điểm yên nào có thể dọc theo hướng chéo:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Vì cả hai đều đồng ý, thay vì có dấu hiệu trái ngược nhau, có không có điểm yên.

Chúng ta có thể thấy biểu đồ này trông như thế nào chỉ để kiểm tra: