Thời gian bán hủy của coban 60 là 5 năm. Làm thế nào để bạn có được mô hình phân rã theo cấp số nhân cho coban 60 ở dạng Q (t) = Q0e ^ kt?

Câu trả lời:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Giải trình:

Chúng tôi thiết lập một phương trình vi phân. Chúng ta biết rằng tốc độ thay đổi của coban tỷ lệ thuận với lượng coban có mặt. Chúng tôi cũng biết rằng đó là một mô hình phân rã, vì vậy sẽ có một dấu hiệu tiêu cực:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Đây là một eq diff đẹp, dễ dàng và riêng biệt:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# ngụ ý ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Nâng mỗi bên lên theo cấp số nhân:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Bây giờ chúng ta đã biết hình thức chung, chúng ta cần tìm ra những gì # k # Là.

Hãy để một nửa cuộc sống được ký hiệu bởi # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

# trước đó 1/2 = e ^ (- ktau) #

Lấy nhật ký tự nhiên của cả hai bên:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Để gọn gàng, viết lại #ln (1/2) = -ln (2) #

#ther Before k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) năm ^ (- 1) #

#ther Before Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #