Làm thế nào để bạn tìm thấy giới hạn của (arctan (x)) / (5x) khi x tiến đến 0?

Câu trả lời:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Giải trình:

Để tìm giới hạn này, lưu ý rằng cả tử số và mẫu số đều đi đến #0# như # x # cách tiếp cận #0#. Điều này có nghĩa là chúng tôi sẽ nhận được một hình thức không xác định, do đó chúng tôi có thể áp dụng quy tắc của L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Bằng cách áp dụng quy tắc của L'Hospital, chúng tôi lấy đạo hàm của tử số và mẫu số, cho chúng tôi

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Chúng ta cũng có thể kiểm tra điều này bằng cách vẽ đồ thị hàm, để có ý tưởng gì # x # cách tiếp cận.

Đồ thị của #arctan x / (5x) #:

đồ thị {(arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Câu trả lời:

Một cách tiếp cận dài hơn bằng cách sử dụng trig được giải thích dưới đây.

Giải trình:

Chỉ trong trường hợp bạn không thoải mái với Quy tắc của L'Hopital hoặc chưa được tiếp xúc với nó, một cách tiếp cận khác để giải quyết vấn đề liên quan đến việc sử dụng định nghĩa của hàm arctangent.

Nhớ lại rằng nếu # tantheta = x #, sau đó # theta = arctanx #; điều này về cơ bản có nghĩa là arctangent là mặt trái của tiếp tuyến. Sử dụng thông tin này, chúng ta có thể xây dựng một hình tam giác trong đó # tantheta = x # và # theta = arctanx #:

Từ sơ đồ, rõ ràng rằng # tantheta = x / 1 = x #. Kể từ khi # tantheta = sintheta / costheta #, chúng ta có thể diễn đạt điều này như:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Sử dụng điều này cộng với thực tế là # theta = arctanx #, chúng tôi có thể thay thế trong giới hạn:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Điều này tương đương với:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Chúng ta biết rằng #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; vì thế #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # hoặc là #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Và kể từ khi # cos0 = 1 #, giới hạn đánh giá là:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#