Hai số có chênh lệch 20. Làm thế nào để bạn tìm thấy các số nếu tổng bình phương của chúng là tối thiểu?

Câu trả lời:

#-10,10#

Giải trình:

Hai số # n, m # như vậy mà # n-m = 20 #

Tổng bình phương của chúng được cho bởi

# S = n ^ 2 + m ^ 2 # nhưng #m = n-20 # vì thế

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Như chúng ta có thể thấy, #S (n) # là một parabola với tối thiểu tại

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # hoặc tại # n_0 = 10 #

Những con số là

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Câu trả lời:

10 và -10

Giải quyết mà không tính toán.

Giải trình:

Trong câu trả lời của Cesareo # d / (dn) S (n_0) # là Giải tích. Hãy để xem nếu chúng ta có thể giải quyết điều này mà không cần tính toán.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (đỏ tươi) ("Đặt số đầu tiên là" x) #

Đặt số thứ hai là # x + 20 #

Bộ # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "là tổng bình phương của chúng" #

#color (màu đỏ) ("Vì vậy, chúng tôi cần tìm giá trị của x mang lại giá trị tối thiểu") # #color (đỏ) ("của" y) #

Phương trình này là một bậc hai và như # x ^ 2 # thuật ngữ là tích cực thì hình dạng chung của nó là hình thức # uu #. Do đó, đỉnh là giá trị tối thiểu cho # y #

Viết như # y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

Điều gì sau đây là một phần của quá trình hoàn thành hình vuông.

Hãy xem xét 20 từ # 20x #

#color (đỏ tươi) ("Sau đó, số đầu tiên là:" x _ ("đỉnh") = (- 1/2) xx20 = -10) #

Do đó, số đầu tiên là # x = -10 #

Số thứ hai là # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" màu (xanh lá cây) (thanh (ul (| màu (trắng) (2/2) "Hai số là: -10 và 10" |))) #