Phạm vi của e ^ x / ([x] +1), x> 0 và trong đó [x] biểu thị số nguyên lớn nhất?

Câu trả lời:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Giải trình:

Tôi giả sử # x # là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn # x #. Trong câu trả lời sau, chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu #ceil (x) #, gọi là hàm trần.

Để cho #f (x) = e ^ x / (trần (x) +1) #. Kể từ khi # x # là lớn hơn #0#, điều này có nghĩa là miền của # f # Là # (0, + oo) #.

Như #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # và kể từ khi # e ^ x # luôn luôn tích cực, # f # luôn luôn lớn hơn #0# trong miền của nó. Điều quan trọng cần lưu ý là # f # Là không phải tiêm và cũng không liên tục ở số tự nhiên. Để chứng minh điều này, hãy để # n # là một số tự nhiên:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Bởi vì #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Tương tự như vậy, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Vì giới hạn bên trái và bên phải không bằng nhau, # f # không liên tục tại các số nguyên. Cũng thế, #L> R # cho tất cả #n trong NN #.

Như # f # đang tăng dần trong các khoảng giới hạn bởi các số nguyên dương, "giá trị nhỏ nhất" trên mỗi khoảng sẽ là # x # tiếp cận giới hạn dưới từ bên phải.

Do đó, giá trị tối thiểu của # f # sẽ là

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Đây là giới hạn dưới của phạm vi # f #.

Trong khi nó không thực sự chính xác để nói rằng # f # đang gia tăng, theo nghĩa là, không có triệu chứng, nó tiến đến vô tận - như đã được chứng minh dưới đây:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (trần (x) +1) #

Như #ceilx> = x #, có tồn tại một #delta <1 # như vậy mà # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Để cho #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # tăng theo cấp số nhân trong khi # u # làm như vậy tuyến tính, có nghĩa là

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Do đó, phạm vi của # f # Là

# "Phạm vi" = (1/2, oo) #

Khoảng mở ở bên trái vì #http: // 2 # vẫn còn #f (0) #và như # x # cách tiếp cận #0^+#, #f (x) # chỉ tiếp cận #http: // 2 #; nó không bao giờ thực sự là bình đẳng