Làm thế nào để bạn chia (i + 3) / (-3i +7) dưới dạng lượng giác?

Câu trả lời:

# 0.311 + 0.275i #

Giải trình:

Đầu tiên tôi sẽ viết lại các biểu thức dưới dạng # a + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Đối với một số phức # z = a + bi #, # z = r (costheta + isintheta) #, Ở đâu:

• # r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
• # theta = tan ^ -1 (b / a) #

Hãy gọi # 3 + tôi # # z_1 # và # 7-3i # # z_2 #.

Dành cho # z_1 #:

# z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# r_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0,32 ^ c #

# z_1 = sqrt (10) (cos (0,32) + isin (0,32)) #

Dành cho # z_2 #:

# z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# r_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0,40 ^ c #

Tuy nhiên, kể từ # 7-3i # nằm trong góc phần tư 4, chúng ta cần có một góc dương tương đương (góc âm đi theo chiều kim đồng hồ quanh vòng tròn và chúng ta cần một góc ngược chiều kim đồng hồ).

Để có được một góc tương đương tích cực, chúng tôi thêm # 2pi #, # tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5,88 ^ c #

# z_2 = sqrt (58) (cos (5,88) + isin (5,88)) #

Dành cho # z_1 / z_2 #:

# z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

#color (trắng) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#color (trắng) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi + isin tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#color (trắng) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5.56) + isin (-5.56)) #

#color (trắng) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5.56) + isqrt (145) / 29sin (-5.56) #

#color (trắng) (z_1 / z_2) = 0.311 + 0.275i #

Bằng chứng:

# (3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# i ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i~~0.310+0.275i#