Lực tác dụng lên một vật di chuyển theo chiều ngang trên đường thẳng được mô tả bởi F (x) = x ^ 2-3x + 3. Động năng của vật thể thay đổi bao nhiêu khi vật chuyển từ x trong [0, 1]?

Câu trả lời:

Định luật chuyển động thứ hai của Newton:

# F = m * a #

Định nghĩa gia tốc và vận tốc:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Động năng:

# K = m * u ^ 2/2 #

Câu trả lời là:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Giải trình:

Định luật chuyển động thứ hai của Newton:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Thay thế # a = (du) / dt # không giúp với phương trình, vì # F # không được đưa ra như là một chức năng của # t # nhưng là một chức năng của # x # Tuy nhiên:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Nhưng # (dx) / dt = u # vì thế:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Thay vào phương trình chúng ta có, chúng ta có một phương trình vi phân:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

Hai tốc độ không rõ nhưng vị trí # x # đươ c biêt đên. Ngoài ra, khối lượng không đổi:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Nhưng # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

chú thích: các đơn vị là # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # chỉ khi khoảng cách đã cho # (x trong 0,1) # được tính bằng mét.