Số cách mà một giám khảo có thể gán 30 điểm cho 8 câu hỏi được đưa ra không ít hơn 2 điểm cho bất kỳ câu hỏi nào là?

Câu trả lời:

#259459200#

Giải trình:

Nếu tôi đọc chính xác điều này, thì nếu người kiểm tra chỉ có thể gán điểm theo bội số của 2. Điều này có nghĩa là chỉ có 15 lựa chọn trong số 30 điểm.i.e. #30/2 = 15#

Sau đó, chúng tôi có 15 lựa chọn được phân phối trong 8 câu hỏi.

Sử dụng công thức cho hoán vị:

# (n!) / ((n - r)!) #

Ở đâu # n # là số lượng đối tượng (Trong trường hợp này các dấu trong nhóm 2).

Và # r # là bao nhiêu được thực hiện tại một thời điểm (Trong trường hợp này là 8 câu hỏi)

Vì vậy chúng tôi có:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Câu trả lời:

Có # "" _ 21C_14 # (hoặc 116.280) cách.

Giải trình:

Chúng tôi bắt đầu với 30 điểm trong "ngân hàng" để cung cấp. Vì tất cả các câu hỏi phải có giá trị ít nhất 2 điểm, chúng tôi lấy # 2 xx 8 = 16 # nhãn hiệu từ #30# và phân phối chúng như nhau. Bây giờ mỗi câu hỏi có 2 (cho đến nay) và "ngân hàng" còn lại với #30-16=14# điểm.

Bây giờ chúng ta chỉ cần tìm số cách để phân chia 14 điểm còn lại trong số 8 câu hỏi. Lúc đầu, điều này có vẻ rất khó khăn, nhưng có một mẹo giúp nó trực quan hơn nhiều.

Hãy đơn giản hóa mọi thứ trong giây lát. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chỉ có 2 câu hỏi và 14 điểm để phân chia giữa chúng? Có bao nhiêu cách chúng ta có thể làm điều đó? Chà, chúng ta có thể chia các dấu là 14 + 0 hoặc 13 + 1 hoặc 12 + 2, v.v … hoặc 1 + 13 hoặc 0 + 14. Nói cách khác, khi chúng ta chỉ cần giới thiệu 1 lần chia (giữa 2 câu hỏi), chúng tôi có 15 cách để làm điều đó.

Điều này giống như hỏi, "Chúng ta có thể sắp xếp 14 viên bi màu vàng (dấu) và 1 viên bi xanh (bộ chia câu hỏi) trong bao nhiêu cách?" Câu trả lời cho điều này được tìm thấy bằng cách tính số lượng hoán vị của tất cả 15 viên bi (đó là #15!#), sau đó chia cho số cách để hoán vị cả hai viên bi màu vàng #(14!)# và viên bi màu xanh #(1!)#, vì trong mỗi sắp xếp, việc các viên bi giống hệt nhau xuất hiện theo thứ tự nào.

Vì vậy, khi có 14 viên bi màu vàng (dấu) và 1 viên bi màu xanh (bộ chia câu hỏi), có

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcelon (14!)) / (Hủy (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 cách sắp xếp các viên bi (chia các dấu). Lưu ý: điều này tương đương với # "" _ 15C_14 #.

Chúng ta hãy giới thiệu một viên đá cẩm thạch màu xanh khác, đó là một phân chia thứ hai hoặc một câu hỏi thứ ba để đánh dấu. Bây giờ chúng tôi có 16 viên bi tổng, và chúng tôi muốn biết có bao nhiêu cách độc đáo chúng tôi có thể sắp xếp chúng. Tương tự như trước, chúng tôi lấy #16!# cách sắp xếp tất cả các viên bi, sau đó chia ra bằng các cách để hoán vị cả hai viên bi màu vàng #(14!)# và những cái màu xanh #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcelon (14!)) / (Hủy (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Vì vậy, có 120 cách để chia 14 điểm giữa 3 câu hỏi. Điều này cũng tương đương với # "" _ 16C_14 #.

Bây giờ, bạn có thể nhận thấy nơi chúng ta đang đi. Số ở bên trái của # C # bằng với số điểm chúng tôi chia (viên bi màu vàng) thêm số lượng bộ chia (viên bi màu xanh). Số lượng bộ chia luôn ít hơn một số lượng câu hỏi. Số ở bên phải của # C # vẫn là số lượng điểm

Do đó, để chia 14 điểm còn lại cho tất cả 8 câu hỏi (yêu cầu 7 bộ chia), chúng tôi tính toán

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (trắng) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (trắng) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Vì vậy, có 116.280 cách để gán 30 điểm cho 8 câu hỏi, trong đó mỗi câu hỏi có giá trị ít nhất 2 điểm.