Chỉnh hình của một tam giác có các góc tại (9, 7), (4, 4) và (8, 6) # là gì?

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Chúng tôi sẽ gọi các đỉnh # A = (4,4) #, # B = (9,7) # và # C = (8,6) #.

Chúng ta cần tìm hai phương trình vuông góc với hai cạnh và đi qua hai trong số các đỉnh. Chúng ta có thể tìm thấy độ dốc của hai trong số các cạnh và do đó độ dốc của hai đường thẳng vuông góc.

Độ dốc của AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Độ dốc vuông góc với điều này:

#-5/3#

Điều này phải đi qua đỉnh C, vì vậy phương trình của dòng là:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Độ dốc của BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Độ dốc vuông góc với điều này:

#-1#

Điều này phải đi qua đỉnh A, vì vậy phương trình của dòng là:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Trong đó 1 và 2 cắt nhau là orthocenter.

Giải quyết 1 và 2 đồng thời:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Sử dụng 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Chỉnh hình:

#(17, -9)#

Bởi vì tam giác bị che khuất, orthocenter nằm ngoài tam giác. điều này có thể được nhìn thấy nếu bạn mở rộng các đường cao độ cho đến khi chúng cắt nhau.

Câu trả lời:

Chỉnh hình

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Hẹp bao quy đầu

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Giải trình:

Chỉnh hình

Được # p_1, p_2, p_3 # và

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # như vậy mà

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Những vectơ này dễ dàng thu được, Ví dụ

# p_1 = (x_1, y_1) # và # p_2 = (x_2, y_2) # và sau đó

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Bây giờ chúng tôi có

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Ba đường thẳng đó giao nhau tại orthocenter của tam giác

Lựa chọn # L_1, L_2 # chúng ta có

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # hoặc là

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

đưa ra các phương trình

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Bây giờ giải quyết cho # lambda_1, lambda_2 # chúng ta có

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

và sau đó

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Hẹp bao quy đầu

Phương trình chu vi được cho bởi

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

bây giờ nếu # {p_1, p_2, p_3} trong C # chúng ta có

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

trừ cái thứ nhất từ cái thứ hai

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

trừ đi thứ nhất từ thứ ba

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

đưa ra hệ phương trình

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Bây giờ thay thế các giá trị đã cho, chúng tôi nhận được tại

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Đính kèm một âm mưu cho thấy orthocenter (màu đỏ) và cắt bao quy đầu (màu xanh).