Một hợp âm có độ dài 12 chạy từ pi / 12 đến pi / 6 radian trên một vòng tròn. Diện tích của vòng tròn là gì?

Câu trả lời:

Diện tích hình tròn là

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Giải trình:

Hình trên phản ánh các điều kiện đặt ra trong vấn đề. Tất cả các góc (mở rộng để hiểu rõ hơn) được tính bằng radian tính từ trục X ngang # OX # ngược chiều kim đồng hồ.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Chúng ta phải tìm một bán kính hình tròn để xác định diện tích của nó.

Chúng tôi biết hợp âm đó # AB # có chiều dài #12# và một góc giữa các bán kính # OA # và # OB # (Ở đâu # O # là một tâm của một vòng tròn) là

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Xây dựng độ cao #OH# của một hình tam giác #Delta AOB # từ đỉnh # O # sang bên # AB #. Kể từ khi #Delta AOB # là cân bằng, #OH# là một trung tuyến và một bisector góc:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Xét một tam giác vuông #Delta AOH #.

Chúng tôi biết rằng cathetus # AH = 6 # và góc # / _ AOH = pi / 24 #.

Do đó, thôi miên # OA #, đó là một bán kính của vòng tròn của chúng tôi # r #, tương đương với

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Biết bán kính, chúng ta có thể tìm thấy một khu vực:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Hãy diễn đạt điều này mà không cần các hàm lượng giác.

Kể từ khi

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

chúng ta có thể diễn tả khu vực như sau:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Một nhận dạng lượng giác khác:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Vì thế,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn diện tích của một vòng tròn như

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Câu trả lời:

Một cách tiếp cận khác kết quả tương tự

Giải trình:

Hợp âm AB có độ dài 12 trong hình trên chạy từ# pi / 12 # đến # pi / 6 # trong vòng tròn bán kính r và trung tâm O, lấy làm gốc.

# / _ AOX = pi / 12 # và # / _ HỘP = pi / 6 #

Vậy tọa độ cực của A # = (r, pi / 12) # và của B # = (r, pi / 6) #

Áp dụng công thức khoảng cách cho tọa độ cực

độ dài của hợp âm AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ HỘP - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = hủy144 ^ 72 / (hủy2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Diện tích hình tròn

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #