Làm thế nào để bạn tìm thấy một xấp xỉ tuyến tính với root (4) (84)?

Câu trả lời:

#root (4) (84) ~ ~ 3.03 #

Giải trình:

Lưu ý rằng #3^4 = 81#, gần với #84#.

Vì thế #root (4) (84) # lớn hơn một chút #3#.

Để có được xấp xỉ tốt hơn, chúng ta có thể sử dụng phương pháp gần đúng tuyến tính, phương pháp a.k.a. Newton.

Định nghĩa:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Sau đó:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

và đưa ra một số không gần đúng # x = a # của #f (x) #, một xấp xỉ tốt hơn là:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Vì vậy, trong trường hợp của chúng tôi, đặt # a = 3 #, một xấp xỉ tốt hơn là:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/4 = 3.02bar (7) #

Điều này gần như chính xác để #4# những con số quan trọng, nhưng hãy trích dẫn gần đúng như #3.03#

Câu trả lời:

#root (4) (84) ~ ~ 3.02778 #

Giải trình:

Lưu ý rằng gần đúng tuyến tính gần một điểm # a # có thể được đưa ra bởi:

#f (x) ~ ~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Nếu được: #f (x) = root (4) (x) #

sau đó là một lựa chọn phù hợp cho # a # sẽ là # a = 81 # bởi vì chúng ta biết #root (4) 81 = 3 # chính xác và nó gần với #84#.

Vì thế:

#f (a) = f (81) = gốc (4) (81) = 3 #

Cũng thế;

#f (x) = x ^ (1/4) # vì thế #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/ 108 #

Do đó chúng ta có thể ước chừng (gần #81#):

#f (x) ~ ~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~ ~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Vì thế:

#root (4) (84) = 3 + 1/ 108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Giá trị chính xác hơn là #3.02740#

do đó gần đúng tuyến tính là khá gần.

Câu trả lời:

#root 4 (84) ~ ~ 3.02bar7 #

Giải trình:

Chúng ta có thể nói rằng chúng ta có chức năng #f (x) = root (4) (x) #

và # gốc (4) (84) = f (84) #

Bây giờ, hãy tìm đạo hàm của hàm của chúng ta.

Chúng tôi sử dụng quy tắc quyền lực, trong đó nói rằng nếu #f (x) = x ^ n #, sau đó #f '(x) = nx ^ (n-1) # Ở đâu # n # là một hằng số.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Bây giờ, để gần đúng # gốc (4) (84) #, chúng tôi cố gắng tìm sức mạnh thứ tư hoàn hảo gần nhất với 84

Hãy xem …

#1#

#16#

#81#

#256#

Chúng ta thấy rằng #81# là gần nhất của chúng tôi.

Bây giờ chúng ta tìm thấy đường tiếp tuyến của hàm của chúng ta khi # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/ 108 #

Đây là độ dốc mà chúng tôi đang tìm kiếm.

Hãy thử viết phương trình của đường tiếp tuyến dưới dạng # y = mx + b #

À, cái gì vậy # y # bằng với khi # x = 81 #?

Hãy xem …

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Do đó, bây giờ chúng ta có:

# 3 = m81 + b # Chúng tôi biết rằng độ dốc, # m #, Là #1/108#

=># 3 = 1/10 * 81 + b # Bây giờ chúng ta có thể giải quyết cho # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Do đó, phương trình của đường tiếp tuyến là # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Bây giờ chúng tôi sử dụng 84 ở nơi # x #.

=># y = 1/10 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Vì thế, #root 4 (84) ~ ~ 3.02bar7 #