Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều này? Điều này sẽ được sử dụng một định lý từ phân tích thực tế?

# "Sử dụng định nghĩa của đạo hàm:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

#"Ở đây chúng tôi có"#

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Chúng tôi cần chứng minh rằng" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"hoặc là"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"hoặc là"#

#h '(x_0) = 0 #

# "với" h (x) = f (x) - g (x) #

#"hoặc là"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"hoặc là"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(do" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Hiện nay"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "nếu" h> 0 "và" lim> = 0 "nếu" h <0 #

# "Chúng tôi đã đưa ra giả định rằng f và g là khác nhau" #

# "vì vậy" h (x) = f (x) - g (x) "cũng khác biệt," #

# "vì vậy giới hạn bên trái phải bằng giới hạn bên phải, vì vậy" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Câu trả lời:

Tôi sẽ cung cấp một giải pháp nhanh hơn giải pháp trong http: // soc.org/s/aQZyW77G. Đối với điều này, chúng ta sẽ phải dựa vào một số kết quả quen thuộc từ phép tính.

Giải trình:

Định nghĩa #h (x) = f (x) -g (x) #

Kể từ khi #f (x) le g (x) #, chúng ta có #h (x) le 0 #

Tại # x = x_0 #, chúng ta có #f (x_0) = g (x_0) #, vậy đó #h (x_0) = 0 #

Như vậy # x = x_0 # là tối đa của chức năng khác biệt #h (x) # phía trong khoảng thời gian mở # (a, b) #. Như vậy

#h ^ '(x_0) = 0 ngụ ý #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) ngụ ý #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #