Bạn sẽ giúp tôi chứ int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Câu trả lời:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Giải trình:

điều này đòi hỏi tích hợp bởi các bộ phận như sau. Các giới hạn sẽ được bỏ qua cho đến khi kết thúc

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (đỏ) (I = intu (dv) / (dx) dx) = uv-intv (du) / (dv) dx #

# u = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (đỏ) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

tích phân thứ hai cũng được thực hiện bởi các bộ phận

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#color (đỏ) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (đỏ) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (đỏ) (I) #

#: 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

bây giờ đặt giới hạn trong

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (e ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Câu trả lời:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Giải trình:

Mặc dù câu trả lời đã được cung cấp là hoàn hảo, tôi chỉ muốn chỉ ra một cách dễ dàng hơn để đi đến cùng một câu trả lời bằng cách sử dụng một cách tiếp cận nâng cao hơn một chút - đó là thông qua các số phức.

Chúng tôi bắt đầu với mối quan hệ nổi tiếng

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

Ở đâu # i = sqrt {-1} #và lưu ý rằng điều này có nghĩa là

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) ngụ ý e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

Ở đâu # Tôi # biểu thị phần tưởng tượng.

Vì thế

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ tôi})#

# = Im ({tức là ^ pi -1} / {2 + i} lần {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + tức là ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) lần (-1) + e ^ pi lần 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #