Làm thế nào để bạn tích hợp int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) bằng cách sử dụng phân số một phần?

Câu trả lời:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Giải trình:

Thiết lập phương trình để giải các biến A, B, C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x +1) ^ 2) dx #

Hãy để chúng tôi giải quyết cho A, B, C trước

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (x-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Đơn giản hóa

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Sắp xếp lại các điều khoản của bên phải

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x +1) ^ 2) #

chúng ta hãy thiết lập các phương trình để giải A, B, C bằng cách khớp các hệ số bằng số của các số hạng bên trái và bên phải

# A + B = 4 "" #phương trình đầu tiên

# 2A + C = 6 "" #phương trình thứ hai

# A-B-C = -2 "" #phương trình thứ ba

Giải pháp đồng thời sử dụng kết quả phương trình thứ hai và thứ ba để

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #phương trình thứ tư

Sử dụng phương trình thứ nhất và thứ tư

# 3A-B = 4 "" #phương trình thứ tư

# 3 (4-B) -B = 4 "" #phương trình thứ tư

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# B = 2 #

Giải quyết cho A bằng cách sử dụng # 3A-B = 4 "" #phương trình thứ tư

# 3A-2 = 4 "" #phương trình thứ tư

# 3a = 4 + 2 #

# 3 = 6 #

# A = 2 #

Giải quyết C bằng cách sử dụng # 2A + C = 6 "" #phương trình thứ hai và # A = 2 # và # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #phương trình thứ hai

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Bây giờ chúng tôi thực hiện tích hợp của chúng tôi

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x +1) ^ 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2)) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Chúa phù hộ ….. Tôi hy vọng lời giải thích là hữu ích.