Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 là gì?

Câu trả lời:

# {: ("Điểm quan trọng", "Kết luận"), ((0,0), "phút"), ((-1, -2), "yên xe"), ((-1,2), "yên "), ((-5 / 3.0)," tối đa "):} #

Giải trình:

Lý thuyết để xác định cực trị của # z = f (x, y) # Là:

Giải đồng thời các phương trình tới hạn

# (một phần f) / (một phần x) = (một phần f) / (một phần y) = 0 # (I E # z_x = z_y = 0 #)
Đánh giá #f_ (x x), f_ (yy) và f_ (xy) (= f_ (yx)) # tại mỗi điểm quan trọng này Do đó đánh giá # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # tại mỗi điểm này
Xác định bản chất của extrema;

# {: (Delta> 0, "Có tối thiểu nếu" f_ (xx) <0), (, "và tối đa nếu" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "có điểm yên ngựa"), (Delta = 0, "Cần phân tích thêm"):} #

Vì vậy chúng tôi có:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Hãy để chúng tôi tìm các dẫn xuất một phần đầu tiên:

# (một phần f) / (một phần x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (một phần f) / (một phần y) = 2xy + 2y #

Vì vậy, các phương trình quan trọng của chúng tôi là:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Từ phương trình thứ hai, chúng ta có:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Dự bị # x = -1 # vào phương trình đầu tiên và chúng ta nhận được:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Dự bị # y = 0 # vào phương trình đầu tiên và chúng ta nhận được:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3.0 #

Và vì vậy chúng tôi có bốn điểm tới hạn có tọa độ;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy xem xét các đạo hàm riêng thứ hai để có thể xác định bản chất của các điểm tới hạn:

# (một phần ^ 2f) / (một phần x ^ 2) = 12x + 10 #

# (một phần ^ 2f) / (một phần y ^ 2) = 2x + 2 #

# (một phần ^ 2f) / (một phần x một phần y) = 2y (= (một phần ^ 2f) / (một phần y một phần x)) #

Và chúng ta phải tính toán:

# Delta = (một phần ^ 2f) / (một phần x ^ 2) (một phần ^ 2f) / (một phần y ^ 2) - ((một phần ^ 2f) / (một phần x một phần y)) ^ 2 #

tại mỗi điểm tới hạn Các giá trị đạo hàm riêng thứ hai, # Delta #và kết luận như sau:

# {: ("Điểm quan trọng", (một phần ^ 2f) / (một phần x ^ 2), (một phần ^ 2f) / (một phần y ^ 2), (một phần ^ 2f) / (một phần x một phần y), Delta, "Kết luận"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "yên"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "yên"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3.0, gt 0, f_ (xx) <0 => "tối đa"):} #

Chúng ta có thể thấy những điểm quan trọng này nếu chúng ta nhìn vào một cốt truyện 3D: