Làm thế nào để bạn tìm thấy khối lượng của vật rắn được tạo ra bằng cách quay vòng giới hạn bởi các đường cong y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) xoay quanh y = 4?

Câu trả lời:

# V = 685 / 32pi # đơn vị khối

Giải trình:

Đầu tiên, phác họa các biểu đồ.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-có thể

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Và chúng ta có điều đó # {(x = 0), (x = 1):} #

Vì vậy, đánh chặn là #(0,0)# và #(1,0)#

Lấy đỉnh:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Vậy đỉnh là tại #(1/2,-1/4)#

Lặp lại trước đó:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Và chúng ta có điều đó # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Vì vậy, đánh chặn là # (sqrt (3), 0) # và # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Vậy đỉnh là tại #(0,3)#

Kết quả:

Làm thế nào để có được âm lượng? Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đĩa!

Phương pháp này chỉ đơn giản là: # "Âm lượng" = piint_a ^ bởi ^ 2dx #

Ý tưởng rất đơn giản, tuy nhiên bạn phải sử dụng nó một cách thông minh.

Và đó là những gì chúng ta sẽ làm.

Hãy gọi khối lượng của chúng tôi # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

Lưu ý: Tôi đang dùng # (4-y) # bởi vì # y # chỉ là khoảng cách từ # x #-axis đến đường cong, trong khi chúng ta muốn khoảng cách từ đường # y = 4 # đến đường cong!

Bây giờ để tìm # a # và # b #, chúng tôi đánh đồng # y_1 # và # y_2 # và sau đó giải quyết cho # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = -1):} #

Kể từ khi # a # đến trước # b #, # => a = -1 # và # b = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4xucci2+16xTHER_-1ucci1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Làm tương tự cho # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = màu (xanh dương) ((685pi) / 32) #