Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) trên khoảng x, y trong [-pi, pi] là gì?

Câu trả lời:

Giải trình:

Chúng ta có:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Bước 2 - Xác định các điểm quan trọng

Một điểm quan trọng xảy ra tại một giải pháp đồng thời của

# f_x = f_y = 0 iff (một phần f) / (một phần x) = (một phần f) / (một phần y) = 0 #

tức là khi:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # đồng thời

Xét phương trình A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Sau đó, chúng tôi có hai giải pháp:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng phương trình B để tìm tọa độ tương ứng:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x trong RR # (máng xối)

Cung cấp cho chúng tôi những điểm quan trọng sau:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 điểm quan trọng)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 điểm quan trọng)

# (alpha, 0) AA alpha trong RR # (đường rãnh)

# (alpha, + -pi) AA alpha trong RR # (2 đường rãnh)

Xét phương trình B

# -6sinxsin2y = 0 #

Sau đó, chúng tôi có hai giải pháp:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng phương trình A để tìm tọa độ tương ứng @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (lặp lại ở trên)

# y = 0 => x trong RR # (nhắc lại ở trên)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (lặp lại ở trên)

Điều này cho chúng tôi không có điểm quan trọng bổ sung:

Bước 3 - Phân loại các điểm quan trọng

Để phân loại các điểm tới hạn, chúng tôi thực hiện một bài kiểm tra tương tự như một phép tính biến bằng cách sử dụng các đạo hàm riêng thứ hai và Ma trận Hessian.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((một phần ^ 2 f) / (một phần x ^ 2), (một phần ^ 2 f) / (một phần x một phần y)), ((một phần ^ 2 f) / (một phần y một phần x), (một phần ^ 2 f) / (một phần y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Sau đó tùy thuộc vào giá trị của # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Có tối đa nếu" f_ (xx) <0), (, "và tối thiểu nếu" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "có điểm yên ngựa"), (Delta = 0, "Cần phân tích thêm"):} #

Sử dụng macro excel tùy chỉnh các giá trị hàm cùng với các giá trị đạo hàm riêng được tính như sau:

Đây là một âm mưu của chức năng

Và ploit với các điểm quan trọng (và máng xối)