Làm thế nào để bạn chứng minh (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Câu trả lời:

Sử dụng một vài danh tính trig và đơn giản hóa. Xem bên dưới.

Giải trình:

Tôi tin rằng có một sai lầm trong câu hỏi, nhưng nó không phải là vấn đề lớn. Để nó có ý nghĩa, câu hỏi nên đọc:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (giây - tanx) ^ 2 #

Dù bằng cách nào, chúng ta bắt đầu với biểu thức này:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Khi chứng minh danh tính trig, nói chung là tốt nhất để làm việc ở phía có một phần).

Chúng ta hãy sử dụng một thủ thuật gọn gàng được gọi là phép nhân liên hợp, trong đó chúng ta nhân phân số với mẫu số liên hợp:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Sự kết hợp của # a + b # Là # a-b #, do đó liên hợp của # 1 + sinx # Là # 1-sinx #; chúng tôi nhân lên # (1-sinx) / (1-sinx) # để cân bằng phân số.

Lưu ý rằng # (1 + sinx) (1-sinx) # thực sự là một sự khác biệt của hình vuông, có thuộc tính:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Ở đây, chúng ta thấy rằng # a = 1 # và # b = sinx #, vì thế:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Từ bản sắc Pythagore # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, nó theo đó (sau khi trừ # tội ^ 2x # từ cả hai phía), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Ồ, chúng tôi đã đi từ # (1-sinx) / (1-sinx) # đến # 1-sin ^ 2x # đến # cos ^ 2x #! Bây giờ vấn đề của chúng tôi trông như:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Hãy mở rộng tử số:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Nhớ lại: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Bây giờ, chúng ta sẽ chia nhỏ các phân số:

# 1 / cos ^ 2x- (2 giây) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = giây ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = giây ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Cách đơn giản hóa cái đó ? Vâng, hãy nhớ khi tôi nói "Hãy nhớ: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Hóa ra # giây ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # thực sự là # (secx-tanx) ^ 2 #. Nếu chúng ta để # a = giây # và # b = tanx #, chúng ta có thể thấy biểu thức này là:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Mà, như tôi vừa nói là tương đương với # (a-b) ^ 2 #. Thay thế # a # với # giây và # b # với # tanx # và bạn nhận được:

# giây ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Và chúng tôi đã hoàn thành prood:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #