Làm thế nào để bạn tích hợp f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) bằng cách sử dụng phân số một phần?

Câu trả lời:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Giải trình:

Vì mẫu số đã được bao thanh toán, tất cả những gì chúng ta cần làm một phần phân số là giải quyết các hằng số:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Lưu ý rằng chúng ta cần cả hai # x # và một số hạng không đổi ở phần lớn bên trái vì tử số luôn thấp hơn 1 độ so với mẫu số.

Chúng ta có thể nhân lên bằng mẫu số bên tay trái, nhưng đó sẽ là một khối lượng công việc khổng lồ, vì vậy chúng ta có thể thông minh hơn và sử dụng phương pháp che đậy.

Tôi sẽ không đi vào quá trình một cách chi tiết, nhưng về cơ bản, những gì chúng ta làm là tìm ra điều gì làm cho mẫu số bằng 0 (trong trường hợp # C # nó là # x = 3 #) và cắm nó vào phía bên trái và đánh giá trong khi che đi yếu tố tương ứng với hằng số mà điều này mang lại:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (văn bản (////)) (3- 7)) = - 6/11 #

Chúng ta có thể làm tương tự cho # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (văn bản (////))) = 35/51 #

Phương pháp che đậy chỉ hoạt động cho các yếu tố tuyến tính, vì vậy chúng tôi buộc phải giải quyết cho # A # và # B # sử dụng phương pháp truyền thống và nhân với mẫu số bên trái:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Nếu chúng ta nhân lên qua tất cả các dấu ngoặc đơn và đánh đồng tất cả các hệ số của các loại khác nhau # x # và các điều khoản không đổi, chúng ta có thể tìm ra các giá trị của # A # và # B #. Đây là một phép tính khá dài, vì vậy tôi sẽ chỉ để lại một liên kết cho bất cứ ai quan tâm:

bấm vào đây

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Điều này cho thấy rằng tích phân của chúng tôi là:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Hai cái đầu tiên có thể được giải bằng cách sử dụng các thay thế u khá đơn giản của mẫu số:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Chúng ta có thể chia tích phân còn lại thành hai:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Tôi sẽ gọi bên trái một tích phân 1 và bên phải một tích phân 2.

Tích phân 1

Chúng ta có thể giải quyết tích phân này bằng cách thay thế u # u = x ^ 2 + 2 #. Đạo hàm là # 2 #, vì vậy chúng tôi chia cho # 2 # hòa nhập với # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int hủy (x) / (2cattery (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Tích phân 2

Chúng tôi muốn có được tích phân này vào mẫu cho # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Nếu chúng tôi giới thiệu một sự thay thế với # x = sqrt2u #, chúng tôi sẽ có thể chuyển đổi tích phân của chúng tôi thành hình thức này. Hòa nhập với # u #, chúng ta phải nhân lên # sqrt2 # (vì chúng tôi đã lấy đạo hàm đối với # u # thay vì # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Hoàn thành tích phân ban đầu

Bây giờ chúng ta đã biết Tích phân 1 và Tích phân 2 bằng nhau, chúng ta có thể hoàn thành tích phân ban đầu để có câu trả lời cuối cùng:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #