Việc cắt hình vuông từ một tờ giấy A4 (297 "mm" xx210 "mm") cho bạn biết gì về sqrt (2)?

Câu trả lời:

Nó minh họa phần tiếp tục cho #sqrt (2) #

#sqrt (2) = 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + …))) #

Giải trình:

Nếu bạn bắt đầu với một tờ A4 chính xác (# 297 "mm" xx 210 "mm" #) sau đó trên lý thuyết bạn có thể cắt nó thành #11# hình vuông:

• Một # 210 "mm" xx210 "mm" #
• Hai # 87 "mm" xx87 "mm" #
• Hai # 36 "mm" xx36 "mm" #
• Hai # 15 "mm" xx15 "mm" #
• Hai # 6 "mm" xx6 "mm" #
• Hai # 3 "mm" xx3 "mm" #

Trong thực tế, nó chỉ có một lỗi nhỏ (nói # 0,2 "mm" #) để làm xáo trộn sự mổ xẻ này, nhưng trên lý thuyết, chúng tôi kết thúc bằng một minh chứng trực quan rằng:

#297/210 = 1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/2))))#

Kích thước của một tờ A4 được thiết kế để ở trong một #sqrt (2): 1 # tỷ lệ, đến milimet gần nhất. Ưu điểm của tỷ lệ như vậy là nếu bạn cắt một tờ A4 làm đôi, thì hai tờ kết quả rất giống với bản gốc. Kích thước kết quả là A5 đến milimet gần nhất.

Thực tế A0 có diện tích rất gần # 1 "m" ^ 2 # và các bên theo tỷ lệ càng gần càng tốt với #sqrt (2) # làm tròn đến milimet gần nhất. Để đạt được điều đó, nó có kích thước:

# 1189 "mm" xx 841 "mm" ~ ~ (1000 * gốc (4) (2)) "mm" xx (1000 / gốc (4) (2)) "mm" #

Sau đó, mỗi kích thước nhỏ hơn bằng một nửa diện tích của kích thước trước đó (làm tròn xuống đến milimet gần nhất):

• A0 # 841 "mm" xx 1189 "mm" #
• A1 # 594 "mm" xx 841 "mm" #
• A2 # 420 "mm" xx 594 "mm" #
• A3 # 297 "mm" xx 420 "mm" #
• A4 # 210 "mm" xx 297 "mm" #
• A5 # 148 "mm" xx 210 "mm" #
• 6 # 105 "mm" xx 148 "mm" #

v.v.

Vì vậy, A4 có diện tích rất gần với # 1/16 "m" ^ 2 #

Phần kết thúc tiếp tục cho #297/210# chỉ đến phần tiếp tục không kết thúc cho #sqrt (2) #…

#sqrt (2) = 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + …))))) = 1; thanh (2) #