Bạn sẽ tích hợp int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx như thế nào?

Câu trả lời:

Tích phân này không tồn tại.

Giải trình:

Kể từ khi #ln x> 0 # trong khoảng # 1, e #, chúng ta có

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

ở đây, để tích phân trở thành

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Thay thế #ln x = u #, sau đó # dx / x = du # vậy đó

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Đây là một tích phân không chính xác, vì tích phân phân kỳ ở giới hạn thấp hơn. Điều này được định nghĩa là

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

nếu điều này tồn tại Hiện nay

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

vì điều này phân kỳ trong giới hạn #l -> 0 ^ + #, tích phân không tồn tại.

Câu trả lời:

# pi / 2 #

Giải trình:

Tích phân # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Thay thế đầu tiên # u = ln (x) # và # "d" u = ("d" x) / x #.

Như vậy, chúng ta có

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Bây giờ, thay thế # u = sin (v) # và # "d" u = cos (v) "d" v #.

Sau đó, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # kể từ khi # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Tiếp tục, chúng tôi có

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #