Làm thế nào để bạn tích hợp int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) bằng cách sử dụng phân số một phần?

Câu trả lời:

# = int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x #

Giải trình:

#int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x #

Câu trả lời:

# 1 / 6ln | x | + 5 / 6ln | x + 6 | + c #

Giải trình:

Bước đầu tiên là yếu tố mẫu số.

# x ^ 2 + 6x = x (x + 6) #

Vì các yếu tố này là tuyến tính, tử số của các phân số một phần sẽ là hằng số, giả sử A và B.

do đó: # (x + 1) / (x (x + 6)) = A / x + B / (x + 6) #

nhân với x (x + 6)

x + 1 = A (x + 6) + Bx ……………………………….. (1)

Mục tiêu bây giờ là tìm giá trị của A và B. Lưu ý rằng nếu x = 0. thì số hạng với B sẽ bằng 0 và nếu x = -6 thì số hạng với A sẽ bằng không.

đặt x = 0 trong (1): 1 = 6A #rArr A = 1/6 #

đặt x = -6 trong (1): -5 = -6B #rArr B = 5/6 #

#rArr (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) = (1/6) / x + (5/6) / (x + 6) #

Tích phân có thể được viết:

# 1 / 6int (dx) / x + 5 / 6int (dx) / (x + 6) #

# = 5 / 6ln | x | + 5 / 6ln | x + 6 | + c #