Câu trả lời:
Xin vui lòng xem giải thích dưới đây
Giải trình:
Chức năng là
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Các dẫn xuất một phần là
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Để cho # (delf) / (delx) = 0 # và # (delf) / (dely) = 0 #
Sau đó, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (mất ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Ma trận Hessian là
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (chắc chắn ^ 2))) #
Yếu tố quyết định là
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2.1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Vì thế, Không có điểm yên ngựa.
#D (1,1)> 0 # và # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, có tối thiểu địa phương tại #(-3,3)#
Câu trả lời:
Tối thiểu địa phương: #(-3,3)#
Giải trình:
Nhóm các điểm bao gồm cả điểm cực và điểm yên được tìm thấy khi cả hai # (delf) / (delx) (x, y) # và # (delf) / (dely) (x, y) # bằng không.
Giả định # x # và # y # là các biến độc lập:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Vì vậy, chúng ta có hai phương trình đồng thời, hạnh phúc xảy ra là tuyến tính:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Từ đầu tiên:
# y = -2x-3 #
Thay thế vào thứ hai:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Thay thế trở lại đầu tiên:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Vì vậy, có một điểm mà các dẫn xuất đầu tiên đồng nhất trở thành số không, hoặc là cực hay yên, tại # (x, y) = (- 3,3) #.
Để suy ra, chúng ta phải tính ma trận của các đạo hàm thứ hai, ma trận Hessian (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (mất ^ 2) = 2 #
Như vậy
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Tất cả các đạo hàm bậc hai đều không đổi bất kể giá trị của # x # và # y #, vì vậy chúng tôi không cần tính toán cụ thể các giá trị cho điểm quan tâm.
NB Thứ tự phân biệt không quan trọng đối với các hàm với đạo hàm thứ hai liên tục (Định lý Clairault, ứng dụng tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_der Thẻ), và vì vậy chúng tôi hy vọng rằng # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, như chúng ta thấy trong kết quả cụ thể của chúng tôi ở trên.
Trong trường hợp hai biến này, chúng ta có thể suy ra loại điểm từ yếu tố quyết định của Hessian, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Một hình thức kiểm tra để quản trị được đưa ra ở đây:
Chúng tôi thấy rằng yếu tố quyết định là #>0#, và như vậy là # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Vì vậy, chúng tôi kết luận rằng #(-3,3)#, điểm duy nhất của đạo hàm 0 đầu tiên, là mức tối thiểu cục bộ của hàm.
Để kiểm tra độ chính xác cho câu hỏi về chức năng một chiều, tôi thường đăng biểu đồ của nó, nhưng Socratic không có cơ sở vẽ bề mặt hoặc đường viền phù hợp cho các chức năng hai chiều, theo như tôi có thể thấy. Vì vậy, tôi sẽ overplot hai chức năng #f (-3, y) # và #f (x, 3) #, không đặc trưng cho toàn bộ miền chức năng cho chúng tôi, nhưng sẽ cho chúng tôi thấy mức tối thiểu giữa chúng, xuất hiện như mong đợi tại # y = 3 # và # x = -3 #, lấy giá trị hàm giống hệt nhau # f = -5 # trong mỗi trường hợp.
Như #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
đồ thị {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
