Chứng minh rằng các đường cong x = y ^ 2 và xy = k cắt đúng góc nếu 8k ^ 2 = 1?

Câu trả lời:

#-1#

Giải trình:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

hai đường cong là

#x = y ^ 2 #

và

#x = sqrt (1/8) / y hoặc x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

cho đường cong #x = y ^ 2 #, đạo hàm liên quan đến # y # Là # 2y #.

cho đường cong #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, đạo hàm liên quan đến # y # Là # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

điểm mà hai đường cong gặp nhau là khi # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

kể từ khi #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

điểm tại đó các đường cong gặp nhau là # (1/2, sqrt (1/2)) #

khi nào #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

độ dốc của tiếp tuyến với đường cong #x = y ^ 2 # Là # 2sqrt (1/2) hoặc 2 / (sqrt2) #.

khi nào #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

độ dốc của tiếp tuyến với đường cong #xy = sqrt (1/8) # Là # -2sqrt (1/8) hoặc -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Chúng tôi tìm kiếm một điều kiện # k # sao cho những đường cong # x = y ^ 2 # và # xy = k # "Cắt đúng góc". Về mặt toán học, điều này có nghĩa là các đường cong phải trực giao, điều này có nghĩa là tại tất cả các điểm tiếp tuyến với các đường cong tại bất kì điểm đã cho là vuông góc.

Nếu chúng ta kiểm tra họ đường cong cho các giá trị khác nhau của # k # chúng tôi nhận được:

Chúng tôi lưu ý ngay lập tức rằng chúng tôi đang tìm kiếm một điểm duy nhất trong đó tiếp tuyến vuông góc nhau vì vậy nói chung các đường cong không trực giao tại tất cả các điểm.

Đầu tiên chúng ta hãy tìm Độc thân danh từ: Tọa độ, # P #, của điểm giao nhau, là giải pháp đồng thời của:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Thay thế phương trình A thành B chúng ta nhận được:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

Và do đó, chúng tôi thiết lập tọa độ giao nhau:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Chúng ta cũng cần độ dốc của các tiếp tuyến tại tọa độ này. Đối với đường cong đầu tiên:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Vì vậy, độ dốc của tiếp tuyến, # m_1 #, đến đường cong đầu tiên tại # P # Là:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Tương tự, đối với đường cong thứ hai:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Vì vậy, độ dốc của tiếp tuyến, # m_2 #, đến đường cong thứ hai tại # P # Là:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Nếu hai tiếp tuyến này vuông góc nhau thì chúng ta yêu cầu:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Dẫn đến kết quả nhất định:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Và với giá trị này của # k #