Sử dụng a) và b) để chứng minh hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Từ bất cứ điều gì bạn đang nói trên đó, tất cả có vẻ như chúng ta phải làm là thể hiện điều đó #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Có vẻ như bất cứ nơi nào bạn nhận được câu hỏi này đều bối rối về định nghĩa của # hatT_L #.

Chúng tôi cuối cùng sẽ chứng minh rằng sử dụng

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

cho

# hatD, hatx - = ihatp_x //, hatx = 1 #

và không phải #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Nếu chúng ta muốn mọi thứ phải nhất quán, thì nếu #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, nó sẽ phải là # hatD, hatx = bb (-1) #. Tôi đã sửa câu hỏi và giải quyết nó rồi.

Từ phần 1, chúng tôi đã chỉ ra rằng cho định nghĩa này (rằng #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Kể từ khi #f (x_0 - L) # là một bản địa của # hatT_L #, hình thức ngay lập tức xuất hiện trong tâm trí là một toán tử hàm mũ # e ^ (LhatD) #. Chúng tôi trực giác rằng #hatD = + ihatp_x // ℏ #và chúng tôi sẽ chứng minh điều đó là đúng.

Hãy nhớ lại rằng trong bằng chứng hiển thị trong phần 1, chúng tôi đã viết:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

và đó là nơi chúng ta sẽ phải sử dụng nó. Tất cả chúng ta phải làm là Taylor mở rộng toán tử mũ và chỉ ra rằng bằng chứng trên vẫn còn.

Điều này cũng được thể hiện trong chi tiết ánh sáng ở đây. Tôi đã mở rộng nó để kỹ lưỡng hơn …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Cho rằng # L # là một hằng số, chúng ta có thể đưa yếu tố ra khỏi cổ góp. # mũ # có thể đi vào, không bị phụ thuộc vào chỉ số. Vì thế:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Bây giờ, chúng tôi đề xuất rằng #hatD = ihatp_x // ℏ #và điều đó sẽ có ý nghĩa bởi vì chúng ta biết rằng:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = hủy (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

vậy đó # hatx, hatp_x = iℏ #. Nó có nghĩa là miễn là #hatT_L = e ^ (LhatD) #, cuối cùng chúng ta cũng có thể có được một định nghĩa XÁC NHẬN trên cả hai phần của vấn đề và nhận được:

#color (màu xanh) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = màu (xanh dương) (1) #

Từ đó, chúng tôi tiếp tục mở rộng cổ góp:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Bây giờ chúng ta biết # hatx, hatp_x #, nhưng không nhất thiết # hatx, hatp_x ^ n #. Bạn có thể thuyết phục bản thân rằng

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

và đó

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

để

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {hủy (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - hủy (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Chúng tôi nhận ra rằng # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Như vậy

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, cung cấp #n> = 1 #.

Từ đây, chúng tôi tìm thấy:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

nếu bạn đánh giá #n = 0 # hạn, bạn sẽ thấy rằng nó bằng không, vì vậy chúng tôi đã bỏ qua nó. Tiếp tục, chúng tôi có:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((IL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1) #

Ở đây chúng tôi chỉ đơn giản là cố gắng làm cho nó trông giống như hàm số mũ một lần nữa.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(điều khoản nhóm)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(đánh giá bên ngoài)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(nếu # n # bắt đầu từ con số 0 # (n-1) #thuật ngữ thứ hai trở thành # n #nhiệm kỳ.)

Kết quả là, cuối cùng chúng tôi cũng nhận được:

# => màu (xanh dương) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = màu (xanh dương) (- LhatT_L) #

Và chúng tôi một lần nữa trở lại với cổ góp ban đầu, tức là

# hatx, hatT_L = -LhatT_L màu (màu xanh) (sqrt "") #

Cuối cùng, hãy cho thấy rằng # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), HatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) HatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Viết ra điều này một cách rõ ràng, sau đó chúng ta có thể thấy nó hoạt động:

# = color (màu xanh) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + HatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = màu (màu xanh) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

và kể từ khi # mũ # luôn luôn đi lại với chính nó, # hatD ^ n, hatD = 0 # và do đó,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (màu xanh) (sqrt "") #