Câu trả lời:
Xem giải thích.
Giải trình:
Theo định nghĩa của Heine về giới hạn chức năng, chúng ta có:
#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #
#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #
Vì vậy, để chỉ ra rằng một chức năng có KHÔNG giới hạn tại # x_0 # chúng ta phải tìm hai chuỗi # {x_n} # và # {thanh (x) _n} # như vậy mà
#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} thanh (x) _n = x_0 #
và
#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (thanh (x) _n) #
Trong ví dụ đã cho, các chuỗi như vậy có thể là:
# x_n = 1 / (2 ^ n) # và #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #
Cả hai chuỗi hội tụ đến # x_0 = 0 #, nhưng theo công thức của hàm chúng ta có:
#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)
bởi vì tất cả các yếu tố trong # x_n # đang ở trong #1,1/2,1/4,…#
va cho #bar (x) _n # chúng ta có:
#f (thanh (x) _1) = f (1) = 2 #
nhưng cho tất cả #n> = 2 # chúng ta có: #f (thanh (x) _n) = 1 #
Vì vậy đối với #n -> + oo # chúng ta có:
#lim_ {n -> + oo} f (thanh (x) _n) = 1 # (**)
Cả hai trình tự bao gồm # x_0 = 0 #, nhưng các giới hạn (*) và (**) là KHÔNG PHẢI bằng nhau, nên giới hạn #lim_ {x-> 0} f (x) # không tồn tại.
QED
Định nghĩa giới hạn có thể được tìm thấy trong Wikipedia tại:
Câu trả lời:
Dưới đây là một bằng chứng sử dụng sự phủ định định nghĩa về sự tồn tại của một giới hạn.
Giải trình:
Phiên bản ngắn
#f (x) # không thể tiếp cận một số # L # bởi vì trong bất kỳ khu phố nào của #0#, chức năng # f # nhận các giá trị khác nhau #1#.
Vì vậy, bất kể ai đó đề xuất cho # L #, có những điểm # x # ở gần #0#, Ở đâu #f (x) # là ít nhất #1/2# đơn vị cách xa # L #
Phiên bản dài
#lim_ (xrarr0) f (x) # tồn tại khi và chỉ khi
có một số # L # như vậy cho tất cả #epsilon> 0 #, đây là một #delta> 0 # như vậy cho tất cả # x #, # 0 <abs (x) <delta # ngụ ý #abs (f (x) -L) <epsilon #
Sự phủ định của điều này là:
#lim_ (xrarr0) f (x) # không tồn tại khi và chỉ khi
cho mỗi số, # L # Đây là một #epsilon> 0 #, như vậy cho tất cả #delta> 0 # Đây là một # x #, như vậy mà # 0 <abs (x) <delta # và #abs (f (x) -L)> = epsilon #
Cho một số # L #, Tôi sẽ để #epsilon = 1/2 # (bất kỳ nhỏ hơn # epsilon # cũng sẽ làm việc
Bây giờ cho một tích cực # đồng bằng #, Tôi phải chứng minh rằng có một # x # với # 0 <absx <delta # và #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (nhớ lại rằng #epsilon = 1/2 #)
Cho một tích cực # đồng bằng #, cuối cùng # 1/2 ^ n <delta # vì vậy có một # x_1 # với #f (x_1) = 2 #.
Ngoài ra còn có một yếu tố # x_2 bằng RR- {1, 1/2, 1/4,… } # với # 0 <x_2 <delta # và #f (x_2) = 1 #
Nếu #L <= (1/2) #, sau đó #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #
Nếu #L> = (1/2) #, sau đó #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #
