Làm thế nào để bạn phân biệt rõ ràng y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Câu trả lời:

Sử dụng quy tắc sản phẩm và danh ngôn và làm rất nhiều đại số tẻ nhạt để có được # dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Giải trình:

Chúng tôi sẽ bắt đầu ở phía bên tay trái:

# y ^ 2 / x #

Để lấy đạo hàm của điều này, chúng ta cần sử dụng quy tắc thương:

# d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

Chúng ta có # u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # và # v = x-> v '= 1 #, vì thế:

# d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Bây giờ cho phía bên tay phải:

# x ^ 3-3yx ^ 2 #

Chúng ta có thể sử dụng quy tắc tổng và nhân của quy tắc không đổi để chia điều này thành:

# d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) #

Thứ hai trong số này sẽ yêu cầu quy tắc sản phẩm:

# d / dx (uv) = u'v + uv '#

Với # u = y-> u '= dy / dx # và # v = x ^ 2-> v '= 2x #. Vì thế:

# d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Vấn đề của chúng tôi bây giờ là:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Chúng ta có thể thêm # x ^ 2dy / dx # cho cả hai bên và yếu tố ra một # dy / dx # để cô lập nó:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Tôi hy vọng bạn thích đại số, bởi vì đây là một phương trình khó chịu cần được đơn giản hóa:

# dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #